r = r(ϕ)

Datum: 2008-10-10Rep: kurvor på polär formLängden av C:C : r = r(ϕ), α −→ ϕ β{0 ≤ r ≤ r(ϕ)D :α ≤ ϕ ≤ β∫ β√r2 + (r ′ ) 2 dϕArean av D:∫Cα∫1 βr 2 (ϕ) dϕ2 αds =∫ bEx: Folium Cartesii ( = Descartes blad)a|r ′ (t)| dtr =3 sin ϕ cos ϕcos 3 ϕ + sin 3 ϕ ,3π4ϕ−→ − π 4Annan param:På implicit form Cirkel:Asteriod:Lemniskata:Folium Cart.:Kardioid:C :{x =3t1+t 3y = 3t21+t 3x 2 + y 2 = r 2x 2 3 + y23 = a23(x 2 + y 2 ) 2 = a(x 2 − y 2 )x 3 + y 3 − 3xy = 0a(x 2 + y 2 ) = (x 2 + y 2 − ax) 21

Arean av Descartes ögla:A = 1 2∫ π20r 2 (ϕ) dϕ = 1 2D : r =∫ π20[9− 1 2 3 ·3 sin ϕ cos ϕcos 3 ϕ + sin 3 ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ π 2=9 sin 2 cos 2 ϕ(cos 3 ϕ + sin 3 ϕ) dϕ = 9 2 211 + tan 3 ϕ] π20= 3 2 (−0 + 1) = 3 2∫ π20tan 2 ϕ(1 + tan 3 ϕ) 2 1cos 2 ϕ =Jag hörde en del hade problem med det här så här är ett lite enklare menlängre lösningsförslag med substitutioner:∫tan 2 ϕ 1(1 + tan 3 ϕ) 2 cos 2 ϕ dϕSubstituerar u = tan ϕdu= 1dϕ cos 2 ϕ∫u 2(1 + u 3 ) du 2Substituerar 1 + u 3 = vdvdu = 3u2 ∫13v 2 dvGår tillbaka= − 13v− 13v = − 13(1 + u 3 ) = − 13(1 + tan 3 ϕ) = −1 3 · 11 + tan 3 ϕvilket är precis lika som där uppe2

Ex på kurvor på polär form:e o =excentricitet.r =acos(ϕ − ϕ 0 )r =ae 01 + e 0 cos ϕe 0 < 1 : ellips e 0 = 1 : parabel e 0 > 1 : hyperbelNästa tillämpning av integral (Riemannsummor):Volym av rotationskroppar och Arean av rotationsytorSkivformen:Kroppen K ⊆ R 3 ligger melan planen x = a och x = b (plan ⊥xy-planetTvärsnittsytan K ∩ { planet x = ξ k } har arean A(x): sönderdela:[a,b] : a = x 0 < x < . . . < x : n = bvälj ξ k∫[xk+1 ,x k ] : då approximeras K av ”skivorna”: tjockleken ∆x k = x k −x k−1 och volymenA(ξ k )∆x kVolymen av K approximeras avn∑A(ξ k )∆x kk=1max ∆x k →0−−−−−−−→∫ baA(x) dxDEF: Om K är en kropp mellan planen x = a och x = b och A(x) = areanav tvärsnittsytan K ∩ ( plan x = x 0 ),A är C 0 så är∫ baA(x) dx VOLYMEN AV KRotationskroppar (sådana för vilka vi kan räkna ut A(x) enkelt.Då områdetD : {(x,y) : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}(område i 1:a kvadranten)roterar kring x-axeln så alstras en rotationskropp K.Tvärsnittsytan K∩(planet x = x 0 ) r en cirkelskiva med areanA(x 0 ) = (f(x 0 )) 2 π3

Volymen är alltsåEx: Klotetuppstår då cirkelkivanV = π∫ bay 2 (x) dxx 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2 med radie Rx 2 + y 2 ≤ R 2 , y ≥ 0roterar kring x-axeln (1 varv). Klotets volymV = π∫ R−R[(R 2 − x 2 ) dx = 2π R 2 − 1 ] R3 x3 0= 4πR33Då området D (som ovan. : x ≥ 0) roterar kring y-axeln alstras en rotationskropp:gör sedvanliga apprroximationena = x 0 < x 1 < . . . < x n = bK approximeras av hålcylindrar med volymenπx 2 kf(ξ k ) − π (x k−1 ) 2 f(ξ k )K:s volym approximeras dån∑k=1πf(ξ k )(x k + x k−1 )(x k − x k−1 ) max ∆x k→0−−−−−−−→Rotationsytor: Då kurvan∫ bC : r = r(t) = (x(t),y(t)), a t −→ bi 1:a kvadranten roterar, alstras rotationsyta S (surface)S:s area: kring x-axeln. Sedvanliga:aπ · f(x) · 2x dxa = t 0 < t 1 < ... < t : n = b, τ k ∈ [t k−1 ,t k ], ∆t k = t k − t k−1ytan approximeras av ”stympade koner” med radiernagerr = y(x k−1 ), R = y(x k )dess mantelyta har arean π(R + r) · s s = ∣ −−−−→ ∣ ∣∣P k−1 P kn∑π(y(t k−1 ) + y(t k )) · ∣ −−−−→ ∣ ∣∣P k−1 P k =k=1n∑∣ π(y(t k−1 ) + y(t k )r(t k ) − r(t k−1 ) ∣∣∣∣∆t k∆t kk=14

Sammanfattning:K:s volymK:s area∫2π∫2πCCmax ∆t k →0−−−−−−→ π= π= 2πy ds = 2πx ds = 2π∫ ba∫ ba∫ ba∫ ba∫ ba2y(t) · |r ′ (t)| dty 2 dx kring x-axelxy dx kring y-axely(t)|r ′ (t)| dt kring x y ≥ 0x(t)|r ′ (t)| dt kring y x ≥ 0Ex: sfärenx 2 + y 2 + z 2 = R 2{x = R cos ϕC :0 −→ ϕ π roterar kring x-axelny = R sin ϕ∫∫ π √A = 2π y ds = 2π R sin ϕ· R 2 (cos 2 ϕ + sin 2 ϕ) dϕ = 2πC0= 2πR 2 [− cos ϕ] π 0 = 4R 2 π∫ π0R sin ϕR dϕ5