De matematiska objektens natur - Göteborgs universitet

De matematiska objektens natur -en matematikfilosofisk pragmatismRasmus BlanckFilosofiska institutionenGöteborgs universitet2007

De matematiska objektens natur -en matematikfilosofisk pragmatismRasmus Blanck9 september 2007SammanfattningDen matematikfilosofiska diskussionen präglas av frågor kring de matematiskaobjektens existens samt deras natur. Vi argumenterar för attdetta kan ha ett nog så stort filosofiskt värde, men att en mer pragmatiskståndpunkt verkar fruktbar. Sällan beror sanningshalten hos matematiskaeller logiska påståenden av existensen eller naturen hos de behandlade objekten.Snarare tycks de gå att använda i tillämpningar och mer abstraktaresonemang, oberoende av ontologisk status. Vi undersöker möjlighetenatt ontologiska antaganden påverkar matematiska resonemang och begreppsbildning,och ger ett förslag till fortsatta efterforskningar.

Innehåll1 Det matematikfilosofiska problemet 11.1 Matematisk realism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Platonism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Logicism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 Empirism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Intuitionism och konstruktivism . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Strukturalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Den ontologiska frågan 43 Den matematiska verksamheten 53.1 Två klassiska exempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.1.1 De naturliga talen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.1.2 De reella talen och analysen . . . . . . . . . . . . . . 63.2 Modeller till mängdteorin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2.1 Den kumulativa hierarkin . . . . . . . . . . . . . . . 63.2.2 Oavgörbara problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2.3 Skolem och kardinalitetsproblemet . . . . . . . . . . 83.2.4 De reella talen och kontinuumproblemet . . . . . . . 93.2.5 Existensen av 0 ♯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 De två svaren 104.1 Klassiska problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2 Oavgörbara problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1 Det matematikfilosofiska problemetI många år har människan förundrats över matematikens häpnadsväckandetillämpbarhet i de mest varierande sammanhang. Redan de grekiskageometrikernas abstraktion från linjer i sanden till ideala sträckor ochodelbara punkter ter sig som en märklig manöver, om man ser till applikationernafrämst. Dock hade detta många tillämpningar, liksom mycketav den matematik som bedrivits sedan deras dagar. Ibland har teorinföregått tillämpningarna, och emellanåt har andra vetenskaper krävt nymatematik för att kunna utföra önskade beräkningar eller modelleringar.En rad frågor hopar sig nu, varav de mest centrala är de ontologiska ochepistemologiska frågorna:1. Vad är matematiska objekt?2. Hur kan vi ha kunskap om matematiska objekt?Ett svar på dessa ger oss även svar på andra intressanta frågor — mestpåträngande är väl frågan om hur det är möjligt att tillämpa matematikpå processer i världen.Många typer av lösningar på de två centrala frågorna har getts, menännu har ingen lösning presenterats som ger ett tillfredsställande, oproblematisktsvar på båda frågorna samtidigt. Ett tydligt, konkret svar påden ena tenderar att kräva mer luddig argumentation kring den andra.En exposé över några av de huvudsakliga strömningarna kan vara på sinplats, och ges här utan inbördes ordning.1.1 Matematisk realismRealistens lösning på de centrala matematikfilosofiska frågorna är vidförsta anblicken enkel. Matematiska objekt existerar oberoende av de medvetandensom uppfattar och bearbetar dem, och matematik är sålunda enupptäckande — inte en uppfinnande — verksamhet.1.1.1 PlatonismTermen platonism går uppenbarligen tillbaka till Platon. Föreställningenom en idévärld, där fullkomliga versioner av vardagliga föremål existerarvid sidan av abstrakta begrepp, utvidgas till att omfatta även allamatematiska entiteter. Här — och ingen annanstans — finns de objektmatematikern hanterar: de naturliga talen, trianglar, oändliga mängder avkomplexvärda funktioner, och allt annat matematikern kan önska sig. Dessaobjekt saknar rumslig och tidslig utsträckning såväl som möjlighet tillkausal påverkan, dessutom är de evigt bestående och oföränderliga. Vårateorem och definitioner är mer eller mindre lyckade försök att utförligtoch korrekt beskriva de matematiska objekten. Som ett resultat av dettaupplever platonisten att alla korrekt ställda matematiska frågor har ettsanningsvärde; antingen har frågan ett positivt svar, eller också har dendet inte. Kanhända är våra sinnen inte skarpa nog att nå fram till sanningen,men likväl finns den där, oberoende av oss. Som vi skall se senareintar denna uppfattning en särställning bland de andra, både vad gäller1

vilka ontologiska frågor som kan besvaras, som frågan om de oavgörbaraproblemens natur.Nackdelen med den platonistiska uppfattningen är att vår varseblivningav dessa matematiska objekt blir mycket problematisk. Om de existerarför sig själva i en egen värld, på alla sätt oberoende av vår, hur kanvi då få någon som helst information om dem? För att kunna nå någonsom helst kunskap om ett objekt verkar det krävas någon form av kausalkoppling mellan oss och det betraktade objektet, annars kan det knappastens vara fråga om ett betraktat objekt. Gödel hävdade att vi besitter ensärskild typ av matematisk intuition, som låter oss betrakta matematiskaobjekt direkt. Den epistemologiska frågan kan kanske inte betraktas somtillfredsställande besvarad.1.1.2 LogicismLogicismen vill göra gällande att alla frågor som rör matematik kan reducerastill frågor om logik och dess natur. Sålunda är all matematiskkunskap bara en del av vår analytiska logiska kunskap, kan vetas a priori,och därmed är alla matematiska påståenden logiska sanningar. RedanFrege gjorde försök att reducera aritmetik till logik (tillsammans medlämpliga definitioner), även om hans formulering visade sig vara inkonsistent.Tanken var att naturliga tal sålunda skulle vara de objekt varsexistens implicerades av denna expanderade logik. På senare år har dockkonsistenta formuleringar av Freges aritmetikfilosofi givits, men det är inteså många som drar stora växlar på detta idag.Logicismen verkar inte heller lösa det ontologiska problemet. Fråganom vilka matematiska objekt som existerar reduceras till frågan om vilkalogiska objekt som existerar, vilket inte heller kan anses besvarat. Kanskevill vi inte ens att logiken i sig själv skall göra existenspåståenden.1.1.3 EmpirismEmpirismen hävdar att matematiska sanningar inte på något vis är apriori, i själva verket bedriver vi här empirisk forskning på samma sätt sominom vilken (natur)vetenskap som helst. Detta ger vissa svårbegripligaföreställningar om matematisk sanning. En tidig version av empirismengav till exempel bilden att påståenden som “2 + 2 = 4” är empiriskaupptäckter, något vi inte kan förstå på något annat sätt än genom vad viobserverat i världen.En modern naturalistisk version av empirism ges av bland andra Quineoch Putnam. Den försvaras med den så kallade indispensability-tesen: 1Eftersom matematiska objekt är oumbärliga i hart när alla empiriska vetenskaperär vi berättigade att postulera existensen av dessa objekt, påsamma sätt som vi i någon mening hävdar att till exempel elektroner existerar.Matematik är helt enkelt den bästa förklaringsmodellen vi har, ochden detroniseras från sin plats som den “renaste”, “exakta” vetenskapen,och placeras jämbördigt med annan empirisk vetenskap.1 Termen används frekvent även i svenskspråkiga sammanhang, och jag har inte hittatnågon tillfredsställande översättning. Oumbärlighets-tesen?2

Att vi därmed skulle vara berättigade till att tro att dessa objekt existerarverkar oproblematiskt, men svaret är fortfarande otillfredsställande.Indispensability-tesen gör gällande att matematiska objekt existerar påsamma sätt som till exempel elektroner, men just dessa hanteras ofta enbartsom förklaringsmodeller till vissa typer av fenomen, och inte somfaktiskt existerande objekt.1.2 FormalismFormalisten betraktar matematisk verksamhet blott och bart som en lekmed symboler. Givet en uppsättning symbolsekvenser (axiom och symbolmanipuleringsregler)kan vi bilda nya symbolsekvenser som följer urde tidigare. I denna tolkning är matematiska påståenden “tomma” — dehandlar inte om någonting utöver de symboler vi skriver på papper. Dettaskall inte behöva betyda att den matematiska symbolmanipulationen ärmeningslös; en tolkning av den formalistiska tanken är att givet någontilldelning av mening till symbolsekvenserna, sådan att axiomen är sannaoch manipuleringsreglerna sanningsbevarande, så skall de nya symbolsekvensernaockså vara sanna inom den givna ramen. Därmed kan matematikerfortsätta göra vad matematiker gör bäst, och lämna de filosofiskaspörsmålen till filosofer.Formalisten är realist i meningen att symbolmanipulationerna trotsallt kan ge oss intressanta resultat om världen. De matematiska “spelreglerna”bottnar i uppförandet hos de fysikaliska strukturer vi observerar,och teorierna som skapas antas ha en riktig, meningsfull tolkning i dessastrukturer. D. Hilbert, en av de främsta företrädarna för den formalistiskaståndpunkten kan snarast betraktas som ren realist vad gäller enklare matematik— den som har en uppenbar koppling till världen omkring oss.Det formalistiska synsättet uppträder då de matematiska teorierna gårutöver dessa basala relationer, till exempel i fallet med oändliga mängder.Oändligheter betraktas i Hilberts formalism som ideala element: dessa entiteterbehöver inte ha en konkret existens i världen, utan fungerar enbartsom förenklingande element i formuleringen av teorin.Ontologin är alltså tydlig för formalisten: inga matematiska objekt existerari någon annan mening än som “streck på pappret”, och vår kunskapom dem är därmed inte heller så svår att göra reda för. Däremot tycksdet mer än besvärligt att förklara varför dessa symboler kan användas föratt beskriva vår omvärld.1.3 Intuitionism och konstruktivismI en något orättvis hantering av dessa båda ståndpunkter behandlar jagdem tillsammans. Intuitionisten menar att matematik är en verksamhetsom bedrivs enbart i våra medvetanden. Det grundläggande begreppet föratt förklara sanning är för intuitionisten inte satisfierbarhet, utan bevisbarhet.Därigenom blir sanningshalten, eller till och med meningsfullheten,hos ett matematiskt påstående enbart beroende av huruvida vi harett bevis för det eller ej. Ett påstående som varken bevisats eller motbevisatssaknar helt enkelt mening. Existensen hos ett matematiskt objektär ekvivalent med möjligheten att explicit konstruera detta objekt. Som3

ett resultat av dessa idéer blir en klassiskt gångbar typ av motsägelsevisoacceptabla i intuitionistens mening; bevis där vi antar ¬ϕ, härleder enmotsägelse och drar slutsatsen att ϕ måste gälla. Det enda sättet attbevisa ϕ är istället genom ett direkt, konstruktivt bevis.Oändliga mängder är problematiska för intuitionisten, den aktualiseradeoändligheten kan inte existera, eftersom vi inte har någon empiriskupplevelse av den. Å andra sidan existerar potentiell oändlighet: givet ettnaturligt tal kan vi konstruera dess efterföljare, dock har vi ingen metodför att samla alla dessa tänkbara efterföljare i en oändlig mängd.1.4 StrukturalismStrukturalisten betraktar inte matematiska objekt som objekt i någonverklig mening, snarare fungerar de som “platshållare” i en större abstraktstruktur. Upptäckten att flera typer av mängdteoretiska konstruktionerkan användas för att representera de naturliga talen ledde till tanken attdet inte är vilket objekt det är fråga om, eller vilka axiom objektet uppfyller,som är viktigt — istället koncentreras uppmärksamheten till vilkenplats objektet i fråga fyller i en viss struktur. Matematiska objekt haringa andra egenskaper än de som kan uttryckas i termer av de i strukturentillgängliga relationerna.Den epistemologiska frågan anses därmed löst; vi betraktar helt enkeltde (tanke)strukturer vi har tillgång till, och ser hur platshållarna i den ärrelaterade till varandra. Ontologin ger större problem. Matematiska objektbehöver inte existera i sig själva, men däremot postuleras existensen avdessa abstrakta strukturer i vilka platshållarna uppträder, vilket knappastkan betraktas som ett mindre problematiskt ontologiskt åtagande.Som vi tidigare sett exempel på 2 är detta en vanlig lösning på dematematikfilosofiska problemen. Istället för att direkt försöka besvarade matematikfilosofiska frågorna reducerar vi problemet till en fråga avallmänfilosofisk natur; svaret på den ontologiska frågan blir i strukturalistensmening att överföra den ontologiska frågan till en annan typ aventiteter. Därmed finns inga specifika matematikfilosofiska problem, meninte heller har vi kommit särskilt mycket närmare ett svar.2 Den ontologiska fråganIngen av de ovan nämnda matematikfilosofiska skolorna 3 lyckas göra redaför och på tillfredsställande vis besvara både den ontologiska frågan ochden epistemologiska frågan. Fokus kommer här att ligga på den förstnämndaproblemställningen: vilka matematiska objekt existerar, och påvilket sätt har de existens? Mer specifikt kan vi som en följd av dettaställa oss den pragmatiska ontologiska frågan:Spelar det någon roll vilka matematiska objekt som existerar, och påvilket sätt de har existens?2 Sektion 1.1.3.3 Dessa är inte att betrakta som organiserade grupper, snarare som en samling av liknandeåsikter.4

I de två följande avdelningarna kommer vi att försöka besvara dennafråga negativt; argumentera för att ontologiska åtaganden inte påverkarmatematikerns förmåga att bedriva matematisk verksamhet.3 Den matematiska verksamheten3.1 Två klassiska exempel3.1.1 De naturliga talenBetrakta sekvensen av de naturliga talen:0, 1, 2, 3, . . .Dessa tal används i mängder av sammanhang, allt från vardagligaobservationer till verksamhet av specifikt vetenskaplig karaktär. Vi kanräkna hur många kor vi har på ängen; vi kan hålla ordning på hur mångakor vi har på ängen, genom att ordna korna i en en-entydig korrespondenstill en påse med stenar; vi kan dessutom bedriva avancerad matematiskvetenskap, som till exempel försöka bevisa Goldbachs hypotes.Vilken typ av ontologiska antaganden behöver vi göra för att dessatyper av verksamheter skall gå att bedriva? Som tidigare noterats finnsen mängd olika svar tillgängliga. Realisten hävdar att talen existerar oberoendeav oss, möjligtvis i en platonistisk himmel, som en avslutad, aktualiseradoändlig mängd av alla naturliga tal.Med den epistemologiska frågan lagd åt sidan, tillsammans med tillexempel frågor om tillämpbarhet, framstår detta som en rimlig förklaringtill hur vi kan bedriva matematik i någon abstrakt mening. Oavsett hur vikommer i kontakt med dessa objekt ger dess egen existens oss möjlighetatt förklara vad vår matematiska verksamhet bottnar i.En liknande förklaring kan ges vad gäller den strukturalistiska hållningen.Här är det inte existensen av naturliga tal som garanterar att vi kanbegripa vad vi gör — garanten är snarare strukturen hos denna sekvens.En mängd tänkbara sådana strukturer finns; alla tillräckligt lika för att,oavsett vilken vi väljer, kunna beskriva aritmetiska tankegångar.Formalistens syn på verksamheten är ännu mer rättfram. Det endavi gör är att manipulera symboler på ett papper; symboler för vilka visjälva ställt upp regler. Inget ontologiskt åtagande alls behöver göras —existensen av de streck vi drar är självklar och för alla uppenbar, och vårverksamhet går aldrig utöver detta.Den konstruktivistisk-intuitionistiska synen ger heller inget problem,naturliga tal är något vi skapar i våra huvuden. Vart och ett av dessaobjekt kan vi explicit konstruera; däremot ingen avslutad oändlig mängdav dem allihop. Å andra sidan kan vi i alla vardagliga fall begränsa oss tillmängden av de tal som är mindre än något visst (möjligtvis mycket stort)tal. Vad gäller frågor kring egenskaper hos alla naturliga tal besvaras dessabäst med hjälp av induktionsprincipen, vilken också finns tillgänglig.Mot bakgrund av detta verkar det rimligt att hävda att åtminstonearitmetisk verksamhet går att bedriva på ett meningsfullt sätt, oavsett5

vilken matematikfilosofisk lösning som åberopas, eller vilka ontologiskaåtaganden som gjorts.3.1.2 De reella talen och analysenI. Newton och G. Leibniz utvecklade under senare halvan av 1600-taletoberoende av varandra teorier för att beräkna tangenter till kurvor i planet.Dessa metoder innefattade bruket av infinitesimaler: tal som liggertillräckligt nära noll för att kunna bortses från, men ändå är nollskilda såde kan förekomma som nämnare i divisioner. Varken Newtons eller Leibniz’framställningar var konsistenta i någon egentlig mening, men idéernavar extremt fruktbara, och användes flitigt i olika typer av fysikaliskaberäkning-ar. Mot slutet av 1800-talet ville man bringa reda i den infinitesimalahärvan, och grunda teorierna i något konsistent system. Ettflertal defintioner av reella tal gavs, som tillät godtyckligt små element itermer av gränsvärdesbegreppet.Resultatet var definitioner av reell analys i termer av bland annatCauchysekvenser och Dedekindsnitt. Oberoende av vilka grundvalar somanvänds är dessa nog för att bedriva fysikaliskt intressant analys på ettkoherent sätt. Med ett konstruktivistiskt synsätt ger flertalet av de olika definitionerna upphov till icke-ekvivalenta strukturer, men för den klassiskematematikern sammanfaller de olika strukturerna till en.Inte heller inom detta område synes det uppenbart att vi finner exempelpå konkreta resultat vars status påverkas av matematikerns ontologi.3.2 Modeller till mängdteorinMängdteorin och dess modeller bjuder på en betydligt mer kompliceradbild, vilket vi skall argumentera för här. I de tidigare presenterade, enklarefallen, tycks det vara ett oantastligt faktum att ontologi inte påverkarden praktiska matematiken. I fallet med mängdteorin verkar det oftaretänkbart att ontologiska antaganden kan vara betydelsefulla, men vi skallargumentera för att åtminstone inget av de här behandlade exemplen gernågot övertygande bevis för detta.Det kan vara värt att notera att frågorna i sektionerna 3.2.1-3.2.5 ären smula svåra att strikt skilja från varandra, och kanske kan ses somolika sidor av samma(?) mynt.3.2.1 Den kumulativa hierarkinBetrakta nu någon formulering av mängdteori, till exempel Skolem-Zermelo-Fraenkels axiomatisering tillsammans med urvalsaxiomet, ZFC.Denna teori är avsedd som en bakgrundsteori till all matematik — denskall garantera existensen av alla de mängder och objekt (eller objektkodade som mängder) som matematikern behöver för sin verksamhet.Tanken är god, men finns någon modell till ZFC? Enligt Gödels andraofullständighetssats kan vi inte bevisa att ZFC är konsistent (och därmedhar en modell) med hjälp av någon svagare teori, och inte ens med hjälpav ZFC själv. För att kunna bevisa konsistensen hos ZFC måste vi därför6

ta till en starkare teori, men hur skall vi kunna veta att denna nya teoriär konsistent? Denna teori behöver ju en än starkare teori för att viskall kunna bevisa konsistensen. Betrakta till exempel följande sekvens avteorier:ZFC, ZFC + Con ZFC, ZFC + Con ZFC+ConZFC , . . .Var och en av teorierna bevisar konsistensen hos sin föregångare, tackvare att konsistenspåståendet är tillagt som ett nytt axiom, men vi kommeraldrig att nå ett slutmål där teorin bevisar sin egen konsistens.Om vi iställer angriper problemet genom att bygga upp en annan,från mängdteorin väsenskild teori kan vi möjligtvis i denna teori bevisaatt ZFC är konsistent — men hur skall vi kunna garantera att dennanya, starkare teori är konsistent? Vi befinner oss återigen i motsvarandesituation.Den kumulativa mängdhierarkin definieras enligt:8

ser av symboler som skall tas som axiom, samt vilka symbolmanipulationervi får göra för att konstruera nya formler. För formalisten är ettoavgörbart påstående oavgörbart för att vi valt ett otillräckligt axiomsystem.Lösningen är att komplettera ett nuvarande system med nya axiom,eller att helt börja från början, med nya symboler, nya axiom, och nya regler.Här kan valet av axiom inte heller styras av några ontologiska aspekter— det spelar ingen roll vilka dubiösa formuleringar eller existensantagandenvi gör — valet styrs helt av matematikerns preferenser. Problemethar ingen “riktig” lösning, vi behöver bara omformulera vad vi trodde attvi menade.En i någon mening mellanliggande situation befinner sig intuitionisteni. Matematiska objekt är mentala konstruktioner, och existerar enbartsom sådana. Vi kan inte “gå ut och titta i världen” för att få svar påoavgörbara problem, för några svar finns inte att få där. Strukturerna vibetraktar har inga andra egenskaper än de vi ger dem; möjligtvis kan viomformulera våra konstruktionsmetoder, eller skärpa vår intuition, mennågot annat ges inte.Här tycks finnas en dikotomi mellan realister och strukturalister å enasidan, och intuitionister, konstruktivister och formalister å den andra. Deförstnämnda vet att det finns ett svar på den ställda frågan, de behöverbara skärpa sina matematiska sinnesorgan till den grad att de begripervilket det är. Finns någon modell till mängdteorin? Om någon sådan finnsbehöver vi bara leta tillräckligt länge för att hitta den, eftersom den existeraroberoende av oss. Den andra gruppen kan bara acceptera att denbild de har idag inte ger svaret; nöja sig med det, eller ändra bilden.3.2.3 Skolem och kardinalitetsproblemetEtt teorem av L. Löwenheim och T. Skolem säger att varje första ordningensteori som har en oändlig modell har en uppräknelig modell. Trotsatt detta är tekniskt oproblematiskt tycks det finnas några intressanta filosofiskaproblem kopplade till teoremet. I fallet med till exempel Peanosaritmetik är påståendet självklart: att denna teori har en uppräknelig modelllär inte förvåna någon. Ett flertal liknande fall finns, men vad gällermängdteori uppstår en mer komplicerad situation.Om vi utgår från någon (överuppräknelig) modell A till ZFC kan vivia Löwenheim-Skolems teorem konstruera en modell B med uppräkneligdomän där precis samma satser är sanna i B som i A. Bland dessa påståendenfinns till exempel bevis för att det finns överuppräkneliga kardinaltal.Att det skulle finnas överuppräkneliga kardinaltal i A verkar inteså konstigt, men hur kan en modell med uppräknelig domän innehållaöveruppräkneliga mängder? Lösningen ligger i själva definitionen av kardinalitetsbegreppet:två mängder sägs ha samma kardinalitet om det finnsen bijektion mellan dem. En mängd som är uppräknelig i A kan alltså betraktassom överuppräknelig i B på så sätt att det i B inte finns någonbijektion mellan N och mängden i fråga.Slutsatsen som dras av detta är att kardinalitet inte kan vara ett absolutbegrepp — en mängd som är överuppräknelig i en modell kan mycketväl vara uppräknelig i en annan modell.8

3.2.4 De reella talen och kontinuumproblemetG. Cantor formulerade kontinuumhypotesen enligt:2 ℵ 0= ℵ 1Detta kan omformuleras till kontinuumproblemet: Finns något kardinaltalκ sådant att:ℵ 0 < κ < 2 ℵ 0Om svaret är nej är kontinuumhypotesen sann; annars är kontinuumhypotesenfalsk. Man har visat att givet att det finns någon modell tillZFC, finns modeller både där ett sådant κ existerar, såväl som modellerdär inget sådant κ finns.Betrakta nu mängden av reella tal som mängden av alla delmängdertill de naturliga talen. Kardinaliteten hos denna mängd är 2 ℵ 0och frågankan också uttryckas som: Hur många är de reella talen?Hur ett svar på frågan om de reella talens antal skall begripas är intehelt lätt att förstå. Som vi såg i sektion 3.2.3 är kardinalitet ett relativtbegrepp, som varierar mellan modeller. Ett överuppräkneligt kardinaltali en modell är inte nödvändigtvis överuppräkneligt i en annan modell,eftersom det kan finnas fler bijektioner mellan mängder i den sistnämnda.Kontinuet är sålunda olika stort i olika modeller. Vilket svar på frågan ärdet eftersökta, eller med andra ord: vilken av dessa modeller var det viavsåg då vi formulerade mängdteorins axiom?Mycket har skrivits i frågan kring avsedda/oavsedda 4 modeller. I vilkenmening kan en modell vara den rätta? Tag till exempel Gödels axiomV = L, som säger att det enbart är de konstruerbara mängderna (ochdärmed enbart de konstruerbara reella talen) som finns i modellen. I enmodell där detta gäller är 2 ℵ 0trivialt lika med ℵ 1, men varför skulle barakonstruerbara mängder finnas? 5 Trots ett konkret svar leder detta oss inteheller vidare — varför skulle just en modell där V = L gäller vara denrätta modellen till mängdteorin?I realistens värld kan det mycket väl existera en avsedd modell, standardmodellentill mängdteorin. I annat fall finns åtminstone de reella taleni sig, och det krävs bara djupare tankeinsatser för att avgöra hur mångade reella talen är “på riktigt”.Andra matematiskfilosofiska ställningstaganden ger upphov till andrasvar. I de fall då matematik är konstruktioner av något slag; i medvetandet,på papper, som sociala strukturer; är det svårare att tänka sigen definitiv lösning på kontinuumproblemet, eller att hitta den avseddamodellen. Varför en modell skulle vara att föredra framför en annan tyckskräva någon typ av värdebegrepp — den ena modellen skall vara “bättre”än den andra. Problemets lösning handlar alltså bara om vilken modellman väljer, om ens nu någon modell finns.4 Intended/unintended i den engelska litteraturen.5 Se vidare sektion 3.2.5.9

3.2.5 Existensen av 0 ♯I uppsatsen “A non-constructible ∆ 1 3 set of integers”[7] ger R. Solovay endefinition av 0 ♯ , ett exempel på en icke-konstruerbar mängd av naturligatal, som kan definieras enligt följande:0 ♯ existerar omm ∃j : L → L,där j är en icke-trivial inbäddning, och L är Gödels konstruerbarauniversum.Om 0 ♯ existerar innebär detta att det finns en obegränsad äkta klassav ordinaltal som är indiscernibilia i L, och 0 ♯ är det reella tal som kodargödelnumren för de sanna formlerna om dessa indiscernibilia i L.Existensen implicerar också att alla överuppräkneliga kardinaltal i vårtmängdteoretiska universum V är en mängd av indiscernibilia i L, och satisfieraralla kardinaltalsaxiom som är realiserade i L. Detta innebär alltsåatt existensen av 0 ♯ motsäger Gödels axiom V = L.Det är inte klart huruvida 0 ♯ existerar i ZFC. Det är konsistent medZFC att mängden inte existerar, och det har ännu inte visats vara inkonsistentatt motsatsen skulle gälla. I själva verket tror många mängdteoretikeratt existensen av 0 ♯ är oavgörbar inom ramen för vår vanliga mängdteori.Vid åminnelse av att reella tal kan betraktas som oändliga mängder avnaturliga tal är detta alltså ett exempel på ett specifikt reellt tal, varsexistens ZFC inte säger någonting om.Här föreligger sålunda ett tänkbart exempel på ett problem vars lösningtycks vara beroende av ontologi. I väntan på ytterligare mängdteoretiskalandvinningar återstår dock bara att fortsätta till:4 De två svaren4.1 Klassiska problemDet går lätt att tänka sig att det finns en skillnad mellan olika typer avmatematiska problem: vissa problem står opåverkade av ontologisk statushos de ingående objekten, medan andra har helt olika svar beroende påvar, hur och om objekten existerar. De problemställningar som faller inomden första gruppen kallar vi ontologiskt invarianta; de övriga följaktligenontologiskt varianta.I en perfekt värld är kanske alla relevanta matematiska frågor ontologisktinvarianta, och matematikfilosofi blir — åtminstone för pragmatikern— en fråga om tycke och smak. En annan möjlighet är att det finnsen skiljelinje mellan de ontologiskt varianta och de ontologiskt invariantafrågorna, kanske i termer av något komplexitetsbegrepp eller i termer avformulerbarhet i någon viss teori. I nuläget tycks det dock inte gå att dranågon intressant slutsats om vilka frågor som faller under vilken kategori.En förhoppning var att finna någon konkret fråga där ontologisk ståndpunktpåverkade svaret. Den kanske största dikotomin är här mellan klassiskamatematiker och konstruktivister. Det finns en mängd begrepp somdifferentieras i ett konstruktivistiskt system, men som klassiskt sammanfaller— till exempel de olika definitionerna av reella tal i 3.1.2. Även10

flertalet klassiskt bevisbara teorem går igenom för konstruktivisten baramed märkbara försvagningar i slutsatsen eller förstärkningar i premissen.En sedan länge känd observation är att konstruktivisten, i flertalet intressantateorier, kan bevisa ¬¬ϕ för varje klassiskt teorem ϕ. Detta slårhål på många, annars tänkbara, argument i denna riktning. Ett tydligtexempel är fallet med icke-kontinuerliga funktioner. Den klassiske matematikernkan bevisaϕ = det finns en icke-kontinuerlig funktionf : R → Rsamtidigt som konstruktivisten inte kan bevisa detta, utan bara ¬¬ϕ.Å andra sidan ställer det inte till något problem för klassikern, som gärnaanvänder lagen om det uteslutna tredje och konstaterar att ϕ följer ur dettadubbelt negerade påstående. Sålunda dög detta inte som ett exempelpå en fråga som accepteras som ett problem oberoende av matematikfilosofiskståndpunkt, och dessutom ger olika svar.Alla exempel vi studerat faller i denna eller liknande fällor, och gerdärför ingen ledning eller grund för att det ens skulle vara fruktbart medett begrepp som ontologisk invarians. Frågan kvarstår dock — finns detfall där ontologin påverkar svaret på en matematisk fråga?4.2 Oavgörbara problemVad gäller de begrepp som studerats i sektion 3.2 finns intressanta frågorkvar. De oavgörbara problemen, till exempel, har uppenbart olika statussom påståenden betraktade, beroende på ontologiska bakgrundsantaganden.De som ser matematiken som ett studium av världen har bara atttitta mer noggrant på sina observationer och därefter komma till djupareinsikt om problemets natur. Den andra gruppen — de som betraktar matematikensom någon typ av mental konstruktion — kan inte titta efternågonstans, utan kan bara hoppas på att utöka sin mentala bild med nyaaxiom som förklarar dessa teoretiska anomalier.Hur jakten på, och rättfärdigandet av, dessa nya axiom går till ärämnet för en kommande uppsats.11

Referenser[1] J. R. Brown, Philosophy of Mathematics — an introductionto the world of proofs and pictures, Routledge, London and NewYork, 1999.[2] M. Colyvan, Indispensability Arguments in the Philosophy ofMathematics in The Stanford Encyclopedia of Philosophy(Fall 2004 Edition), Edward N. Zalta (ed.), URL =http://plato.stanford.edu/archives/fall2004/entries/mathphil-indis/[3] D. Hilbert, On the infinite reprinted in From Frege to Gödel, Jeanvan Heijenoort (ed.), Harvard University Press, 1967.[4] V. Klenk, Intended Models and the Löwenheim-Skolem Theorem inJournal of Philosophical Logic, Vol. 5, pp. 475-489, 1976.[5] E. H. Reck & M. P. Price, Structures and Structuralism in ContemporaryPhilosophy of Mathematics in Synthese, Vol. 125, pp. 341-383,2000.[6] S. Shapiro (ed.), The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematicsand Logic, Oxford University Press, New York, 2005.[7] R. M. Solovay, A non-constructible ∆ 1 3 set of integers in Transactionsof the American Mathematical Society, Vol. 127, pp.50-75, 1967.[8] A. S. Troelstra & D. van Dalen, Constructivism in mathematics,an introduction, North-Holland, Amsterdam, 1988.[9] W. H. Woodin, The continuum hypothesis, part 1 in Notices of theAMS, Vol. 48, Nr. 6, pp. 567-576, 2001.[10] W. H. Woodin, The continuum hypothesis, part 2 in Notices of theAMS, Vol. 48, Nr. 7, pp. 681-690, 2001.12