Felfortplantningsformlerna - Matematiska institutionen - Stockholms ...

5 ASYMPTOTISKA RESULTAT 7det. Detta är ett mycket användbart resultat, bland annat inom statistikteorin där man oftaarbetar med (approximativt) normalfördelade storheter. Även detta resultat kan utvidgas tillfunktioner av flera stokastiska variabler.5 Asymptotiska resultatDetta avsnitt förutsätter kunskaper i sannolikhetsteori på fortsättningsnivå, motsvarande Gut(1995). I bevisen kommer vi att behöva ett antal standardsatser om konvergens från sannolikhetsteorin.Dessa hämtar vi från Guts kapitel VI.Härledningen av (2.4), (2.5), (3.4) och (3.5) ovan var tämligen heuristisk. Kan dessa formlerges ett stringent rättfärdigande? En idé som ligger nära till hands är att söka användbararesttermsuppskattningar, såsom i anmärkningen på sidan 4. Detta är i praktiken ett svårlöstproblem; vi kommer också att se i exempel 5.1 nedan att resttermen inte nödvändigtvis ärdet lämpligaste sättet att bedöma felfortplantningsformlernas tillämplighet. Den matematiskastatistikens vanligaste metod för att motivera approximationer är asymptotiska resultat,såsom till exempel centrala gränsvärdessatsen. Vi följer här den vägen och börjar med deten-dimensionella fallet. Låt {X n ; n = 1, 2, . . . } vara en följd av stokastiska variabler som ärasymptotiskt normalfördelad med asymptotiskt väntevärde µ och asymptotisk varians σ 2 /n,dvs√ n(Xn − µ)d−→ N(0, σ 2 ) då n → ∞ (5.1)Det kanske viktigaste exemplet på en sådan följd är när X n är medelvärdet X av n styckenoberoende likafördelade stokastiska variabler.Sats 5.1 Låt X n uppfylla (5.1). Låt g(x) vara en deriverbar funktion vars derivata ärkontinuerlig i µ och skild från 0 där. Då gäller√ n (g(Xn ) − g(µ))d−→ N(0, [g ′ (µ)] 2 σ 2 ) då n → ∞ (5.2)Vår tolkning av (5.2) är att när n är stort är g(X n ) approximativt normalfördelad med väntevärdeoch varians som ges av felfortplantningsformlerna (2.4) och (2.5) och Var(X n ) ≈σ 2 /n.