Felfortplantningsformlerna - Matematiska institutionen - Stockholms ...

3 FUNKTIONER AV FLERA STOKASTISKA VARIABLER 5Exempel 2.1 Låt Y = 1/X. Då ger felfortplantningsformlernaE [Y ]≈1E [X](2.6)Var(Y ) ≈ Var(X)(E [X]) 4 (2.7)Approximationen bör vara god om ligger långt ifrån 0 och Var(X) är liten relativt E [X].Felfortplantningsformlerna måste tillämpas med stor försiktighet, vilket följande exempelunderstryker.Exempel 2.2 Låt g(X) = x 2 . Då ger (2.3)E [ X 2] ≈ µ 2 = (E [X]) 2varur vi felaktigt skulle kunna dra slutsatsen att Var(X) ≈ 0 för alla stokastiska variabler!3 Funktioner av flera stokastiska variablerLåt g(X 1 , X 2 , . . . , X n ) vara en funktion av de n stokastiska variablerna X 1 , X 2 , . . . , X n . Antagförst att g är linjär, dvsn∑g(X 1 , X 2 , . . . , X n ) = c i X i (3.1)för några konstanter c 1 , c 2 , . . . , c n . Då får vi, med hjälp av Ross formel (2.2) sid 307 och (3.1)sid 323, samt (2.1) och (2.2) ovan, de välkända räknereglerna[ n∑]n∑E c i X i = c i E [X i ] (3.2)i=1i=1( n∑)n∑n∑ n∑Var c i X i = c 2 i Var(X i ) + 2 c i c j Cov(X i , X j ) (3.3)i=1i=1i=1 j=i+1i=1Låt nu g vara en godtycklig funktion som är approximativt linjär i ett område där (X 1 , X 2 , . . . , X n )lägger huvuddelen av sin sannolikhetsmassa. Med hjälp av en Taylor-utveckling kring vektornav väntevärden µ = (µ 1 , µ 2 , . . . , µ n ) för X 1 , X 2 , . . . , X n och med samma typ av resonemangsom i avsnitt 2 får vi