Felfortplantningsformlerna - Matematiska institutionen - Stockholms ...

1 INTRODUKTION 21 IntroduktionFör många funktioner av stokastiska variabler kan det vara svårt att bestämma väntevärde ochvarians exakt. I sådana fall kan man dock ofta göra en approximativ beräkning med hjälp avde så kallade felfortplantningsformlerna, som presenteras på följande sidor. Vi inleder medett exempel.Exempel 1.1 (Omsättning i livsmedelshandeln) En undersökning av den totala omsättningeni livsmedelshandeln 1987 baserad på ett slumpmässigt urval av butiker gav resultatet 74mkr. När undersökningen upprepades 1988 (med ett nytt urval) blev resultatet 83 mkr. Dessavärden kan betraktas som utfall av oberoende stokastiska variabler X respektive Y . Låt µ 1vara den verkliga omsättningen 1987 och µ 2 densamma 1988. Enligt uppgift förelåg ingasystematiska fel i undersökningen, dvs E [X] = µ 1 och E [Y ] = µ 2 . Vidare angavs standardavvikelsentill 2.8 mkr för X och 3.1 mkr för Y , dvs Var(X) = 2.8 2 och Var(Y ) = 3.1 2 .Det är i denna typ av tillämpning vanligt att studera förändringen i omsättning (från 1987 till1988). Den absoluta förändringen µ 2 − µ 1 uppskattas naturligtvis med 83 − 74 = 9 mkr, somär en observation av Y − X. Vad vet vi om det systematiska och slumpmässiga felet i dennauppskattning? Enligt våra räkneregler för väntevärde och varians för summor av stokastiskavariabler (återgivna nedan som formel 3.2 och 3.3 ) gällerE [Y − X] = E [Y ] − E [X] = µ 2 − µ 1 (1.1)Var(Y − X) = Var(Y ) + Var(X) = 4.2 2 (1.2)Observera att vi här antagit att X och Y kan betraktas som oberoende (pga oberoende urval)så att Cov(X, Y ) = 0.Antag nu att vi i stället är intresserade av förändringen uttryckt som kvoten µ 2 /µ 1 , vilket ipraktiken är väl så vanligt som att studera den absoluta förändringen. Kvoten skattas med83/74 = 1.12, som är en observation av Y/X . Vi skulle i detta fall, analogt till (1.1) och(1.2), vilja beräkna[ ] YEX( ) YVarX(1.3)(1.4)