Felfortplantningsformlerna - Matematiska institutionen - Stockholms ...

6 ÖVNINGAR 116 ÖvningarAvsnitt 1-4Låt oss först påminna om att standardavvikelsen är kvadratroten ur variansen. Uppgiftermärkta (KTH) är hämtade ur någon av de problemsamlingar som förekommer vid KTH.F1. (KTH) En kemist beräknar volymen av sfäriska bubblor genom att mäta bubblornasdiameter d på en fotografisk plåt och tillämpa formeln v = πd 3 /6. Mätningen av endiameter är behäftad med osäkerhet och kan betraktas som en observation av en stokastiskvariabel med väntevärde d och standardavvikelse 0.02 mm. För en viss bubbla blevdiametervärdet d = 1.80 mm varur v = 3.05 mm 3 . Bestäm approximativt väntevärdeoch standardavvikelse för volymsbestämningen.F2. Om en lösning har vätejonkoncentration x, så definieras pH-värdet som − 10 log(x). Antagatt en viss vätska har pH-värdet p och att detta kan bestämmas med ett mätfel somhar standardavvikelse σ. Ange approximativa formler för väntevärde och standardavvikelseför motsvarande bestämning av vätejonkoncentrationen.F3. a) Visa att (2.4) och (2.5) reduceras till (2.1) och (2.2) då g(x) = ax + b för någrakonstanter a och b. Följaktligen är approximationen exakt i detta fall.b) Visa att (3.4) och (3.5) reduceras till (3.2) och (3.3) då g är linjär, dvs (3.1) gäller.Slutsatsen blir även här att approximationen är exakt.F4. Den kontinuerliga stokastiska variabeln X är likformigt fördelad på intervallet (a, b),där a = 1 − ɛ och b = 1 + ɛ för någon konstant ɛ, 0 < ɛ < 1. Sätt Y=1/X.a) Bestäm E [Y ], dels exakt, dels med felfortplantningsformeln. Hur stort blir detrelativa felet i approximationen om ɛ är: 0.50, 0.25, 0.10 respektive 0.05?b) För ɛ = 0.10, bestäm Var(Y ) dels exakt, dels med felfortplantningsformeln ochjämför resultaten.F5. Upprepa beräkningarna för Y − X och Y/X i exempel 1.1 i texten, men nu underantagande att de båda undersökningarna byggde på delvis samma urval, så attCov(X, Y ) = 3.0 (säg).F6. (KTH) I en serie försök uppmättes svängningstiden t för en pendel samt pendelns längdl. Mätningarna kan ses som observationer av stokastiska variabler med väntevärden lika