Masb11 tenta 100430

Matematisk statistik Tentamen 2010-04-30 kl 8 00 –13 00Lunds universitetMASB11 — Biostatistisk grundkurs 7.5 hpVäl motiverade lösningar med svar krävs på varje uppgift, t.ex. ska modeller, approximationer, hypoteser ochslutsatser anges och motiveras.Institutionens papper används både som kladdpapper och som inskrivningspapper. Varje lösning skall börjaöverst på nytt papper. Rödpenna får ej användas. Skriv fullständigt namn på alla papper.Tillåtna hjälpmedel: Matematiska och statistiska tabeller som ej innehåller statistiska formler, Formelsamling”MASB11 Biostatistisk grundkurs” samt miniräknare.Totalt kan man få 100 poäng. Gränsen för godkänd är 50 poäng och för väl godkänd 75 poäng.Resultatet anslås senast 2010-05-04 på kursens hemsida www.maths.lth.se/matstat/kurser/masb11/vtm3/samt i matematikhusets entréhall.1. (a) För att testa idrottare om de tagit otillåtna dopingpreparat finns det flera metoder. Med en vissmetod (A) är sannolikheten 0.90 att man får positivt utslag när en dopad person testas, och meden annan metod (B) är motsvarande sannolikhet 0.80. Att båda metoderna ger postivt utslag för endopad person sker med sannolikheten 0.75.i. Hur stor är sannolikheten att minst en av metoderna ger positivt utslag när de används på endopad person?(2p)ii. Hur stor är sannolikheten att ingen av metoderna ger positivt utslag när de används på enperson som är dopad?(2p)iii. En dopad person testas med metod B som ger positivt utslag. Hur stor är då sannolikheten atttest med metod A också kommer att ge positivt utslag?(2p)(b) En forskare mäter längden hos personer före och efter en hormonbehandling. Hon har som modellatt förändringen i längd är normalfördelad med väntevärde 3.5 cm och standardavvikelse 1.4 cm.i. Enligt denna modell, vad är sannolikheten att hormonbehandlingen ger en ökad längd? (4p)ii. Forskaren mäter på 10 personer. Vad är sannolikheten att medelvärdet av de 10 personernaslängdförändring överstiger 4.5 cm?(4p)(c) Antal jordskalv per år i ett visst område är poissonfördelat med väntevärde 0.5.i. Vad är sannolikheten för minst två jordskalv under ett år? (3p)ii. Vad är sannolikheten att man under fem år inte får något jordskalv alls?(3p)2. Det neurologiska tillståndet ”stiff person syndrome” (svenskt namn saknas) kännetecknas av fortskridandemuskelstelhet, smärtsamma kramper och ibland ofrivilliga muskelryckningar. För att undersöka omförekomsten av detta syndrom är kopplat till förekomst av anti-GAD-autoantikroppar (GAD är en förkortningav glutaminsyredekarboxylas) gjordes en undersökning på totalt 550 personer varav 370 hadesyndromet.Har anti-GAD- Har ej anti-GADautoantikropparautoantikropparNormal 55 125Stiff person syndrome 220 150Finns det ett signifikant samband mellan förekomst av anti-GAD-autoantikroppar och förekomst avsyndromet?(20p)3. Ett farmaceptiskt företag gjorde ett experiment för att studera hur snabbt en ny typ av smärtstillandemedicin kunde lindra smärta. Det smärtstillande medlet gavs i 4 olika doser: 2, 5, 7 eller 10 gram tillen grupp patienter med liknande typ av smärta. Man mätte sedan tiden (i minuter) som det tog till dess

att patienten upplevde en märkbar förändring. I en grupp på 12 kvinnor noterade man följande resultat:Patient 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Dos (g) 2 2 2 5 5 5 7 7 7 10 10 10Tid (min) 35 43 50 24 27 30 19 11 14 10 8 3Ett datorprogram gav följande summor:∑ ∑ ∑Dos xi =72 x2i =534 (xi − ¯x) 2 1∑=10212−1 (xi − ¯x) 2 =9.2727∑ ∑ ∑Tid yi =274 y2i =8630 (yi − ȳ) 2 1∑=2373.712−1 (yi − ȳ) 2 =215.7879Dessutom var den “blandade kvadratsumman” ∑ (x i − ¯x)(y i − ȳ) = −465. Man ritade också ut tid motdos, motvarande plot är till vänster i nedanstående figur.60KVINNOR60MÄN50504040tid (min)30tid (min)302020101000 2 4 6 8 10 12dos (g)00 2 4 6 8 10 12dos (g)(a) För dessa data (mätningarna på kvinnorna) antog man en linjär regressionsmodell. Skriv upp denantagna modellen.(2p)(b) Skatta parametrarna (alla tre) i modellen och ange den skattade regressionslinjen.(c) Hur mycket snabbare smärtlindring får en kvinna i genomsnitt om dosen ökas med 1 gram? Gör ett95 % intervall för denna storhet. (6p)(d) Eva-Lotta får en dos på 6 gram. Ange ett 95 % intervall för den tid det kan ta innan hon fårsmärtlindring.(6p)(e) Man gjorde också motsvarande mätningar på 12 män, se plot till höger i figuren. Forskarna tvekadeatt för dessa data sätta upp en linjär regressionsmodell. Hade de rätt? Motivera genom att skissa hurresidualerna skulle se ut om en linjär regressionsmodell antas.(2p)4. I en variant från försöken som beskrivs i uppgift 3 ville man undersöka om det fanns skillnader mellanmän och kvinnor beträffande den genomsnittliga tid (minuter) det tar till dess de upplever smärtlindring.För en fix dos på 6 gram fick man följande resultat:Kön antal medel stdman 8 22.3 2.4kvinna 9 18.4 2.6Tyder data på att det finns skillnader mellan könen? Du får göra rimliga normalfördelningsantaganden.(20p)(4p)

5. I en studie av viktökningen vid ökat energiintag fick 16 försökspersoner (inte överviktiga, i åldrar mellan26 och 36 år) varje dag äta mat som innehöll 1000 kalorier mer än vad de behövde för att bibehålla sinvikt. Dieten pågick i 8 veckor så de fick totalt i sig 56 000 kalorier mer än de behövde. I tabellen nedanges vikterna (kg) före och efter den 8 veckor långa försöksperioden:Lycka till!Försöksperson 1 2 3 4 5 6 7 8Vikt före 55.7 54.9 59.6 62.3 74.2 75.6 70.7 53.3Vikt efter 61.7 58.9 66.0 66.4 79.0 82.3 74.3 59.3Försöksperson 9 10 11 12 13 14 15 16Vikt före 73.3 63.4 68.1 73.7 91.7 55.9 61.7 57.8Vikt efter 79.1 66.0 73.4 76.9 93.1 63.0 68.2 60.3Enligt teorin ska 56 000 extrakalorier resultera i en viktökning på minst 3.9 kg. Kan man utifrån dettamaterial visa att den förväntade viktökningen efter en diet av detta slag är det som förutsägs av teorin?(a) Besvara frågan genom att utföra ett lämpligt hypotestest på 5% signifikansnivå som bygger på rimliganormalfördelningsantaganden.(10p)(b) Besvara frågan genom att utföra ett lämpligt hypotestest på 5% signifikansnivå om man inte kangöra något normalfördelningsantagande.(10p)