Lösningar till tentamen 2007-01-13 - Fysik

Institutionen för FysikGöteborgs UniversitetLÖSNINGAR TILL TENTAMEN I FRÅN BIG BANG TILLNUTID 2. RELATIVITETSTEORI OCH KOSMOLOGITid: Lördag 13 januari 2006, kl 8 30 − 13 30Plats: MExaminator: Ulf Torkelsson, tel. 031-772 3136 (arbete), 031-451404 (bostad),0733-261681 (mobil)Hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, Standard Math Tables. Räknare medtömt minne. Alla formelsamlingar skall vara fria från egenhändiga anteckningarbortsett från korrektioner av tryckfel.Lösningarna presenteras på kurshemsidan den 15 januari. Resultaten anslåssenast den 19 januari. Tentamensgranskning den 19 januari kl. 11.45-12.15 iO7108B.Varje uppgift ger maximalt 3 poäng. För godkänt krävs minst 8,5 poäng ochför VG 13,5 poäng.UPPSTÄLLDA SAMBAND SKALL MOTIVERAS (gärna med en enkelskiss). Alla väsentliga steg i analys och beräkningar skall redovisas.1. Man tror att universums materia rejoniserades vid ett rödskifte av 20.Vad var densiteten av vanlig materia vid den tiden? Den vanliga materienhar idag en densitet av 5 × 10 −25 kg m −3 . Om vi antar att Vintergatanhar en massa av 10 12 M ⊙ , hur stort är då ett klot med samma massa somVintergatan vid den här tiden?Lösning: Vi har attρ (z) = ρ 0 (1 + z) 3 = 5 × 10 −25 × 21 3 = 4.6 × 10 −21 kg m −3 . (1)Vintergatans massa ärsom ger ossM = 4 3 πR3 ρ, (2)( ) 1/3 ( 3M 3 × 10 12 × 2 × 10 30 ) 1/3R ==4πρ 4π × 4.6 × 10 −21 m = 4.7 × 10 20 m = 15 kpc.(3)1

2. En planka med vilolängden l 0 rör sig med hastigheten v. Beräkna plankanslängd enligt en observatör i vila om plankan bildar vinkeln θ med sinrörelseriktning.Lösning: Observatören i vila mäter upp en längd√l 0 cos θlängs med plankans rörelseriktning, och en längd1 − v2c 2 (4)l 0 sin θ (5)vinkelrät mot plankans rörelseriktning. Pythagoras sats ger då enligt vårobservatör att plankans längd är)l 2 = l0 2 cos 2 θ(1 − v2c 2 + l0 2 sin 2 θ = l0 2 − l02och om vi tar kvadratroten ur detta uttryck får vi( ) 2 v cos θ, (6)( ) 2 v cos θl = l 0√1 −. (7)c3. Beskriv tre sätt på vilka man har testat den allmänna relativitetsteorin.cLösning: I samband med totala solförmörkelser har man observerat hurljuset från bakomliggande stjärnor böjs av när ljusstrålarna passerar förbisolen. Detta leder till att stj”arnorna ser ut att ligga längre bort frånsolen än vad de egentligen gör.Periheliet för Merkurius bana runt solen förskjuts gradvis framåt med42 bågsekunder per sekel mer än vad som kan förklaras av inverkan frånövriga planeter. Denna perihelieförskjutning förutsägs av den allmännarelativitetsteorin.Radarpulser som går mellan Jorden och Venus fördröjs när Venus liggerpå andra sidan om solen. Detta beror på att tiden går långsammare närasolens yta.4. Beskriv Hubbles klassifikationssystem för galaxer, och diskutera specielltåldern på stjärnorna i olika galaxtyper samt förekomst av gas i galaxerna.2

Lösning: På ena sidan i Hubbles system finns de elliptiska galaxerna.Dessa betecknas E0 - E7, där siffran är ett mått på hur tillplattad galaxenär. Den beräknas enligt10 a − ba , (8)där a är halva storaxeln och b är halva lillaxeln. De elliptiska galaxen harlite gas, och bara gamla stjärnor.På andra sidan finns spiralgalaxerna. Dessa delas upp i vanliga spiralgalaxerS, och stavspiraler SB. Beteckningen följs av en bokstav a till c,där a beskriver galaxer med en stor central del och tätt lindade armar,medan c beskriver galaxer med en liten kärna och väl separerade spiralarmar.Mängden gas och andelen unga stjärnor växer från Sa till Sc. Sedanfinns det små oregelbundna galaxer Irr, som ofta har mer gas och ungastjärnor är spiralgalaxerna. Mellan de elliptiska galaxerna och spiralgalaxernafinns de linsformade galaxerna S0. Dessa ser ut som spiralgalaxer,bortsett från att det saknas spiralarmar i galaxskivan. De tycks varagamla spiralgalaxer som har förlorat all gas och där stjärnbildningen harupphört.5. Beskriv hur de lätta grundämnena bildas i big bang.Lösning: Protoner och neutroner bildas ungefär 10 −6 s efter big bang.Genom att protonen är lättare än neutronen, och neutronen är instabilså uppstår det ett överskott på protoner. 10 s efter big bang går det 6protoner på varje neutron. Temperaturen är då så låg att en proton ochen neutron kan slå sig samman till en deuteriumkärna. Därefter fortsätterkärnreaktionerna att steg för steg bygga upp tyngre atomkärnor. Eftersom4 He är mycket stabil och det inte finns någon stabil atomkärna med femnukleoner så kommer praktiskt taget alla neutronerna att inkorporeras i4 He-kärnor. För varje 4 He-kärna behövs det två neutroner och två protoner.Då blir det tio protoner (vätekärnor) över. Alltså blir andelenheliumkärnor i universummedan resten av universum består av väte.1= 9%, (9)1 + 10Under nukleosyntesen bildas det också små mängder 2 H, 3 He och 7 Li.Deras ymnigheter är mycket känsliga för universums baryondensitet, ochdärmed kan vi använda observationer av deras ymnigheter för att bestämmabaryondensiteten som bråkdel av universums kritiska densitet.6. Vad menas med inflationsmodellen, och vilka observationer förklarar den?3

Lösning: Inflationsmodellen beskriver hur universum ungefär 10 −35 s efterbig bang hamnade i ett falskt vakuum, i vilket dess energidensitet domineradesav vakuumenergi. Universum genomgick då en uppblåsning undervilken det växte exponentiellt i storlek. Denna uppblåsning avbröts efterungefär 10 −32 s, då vakuumenergin föll sönder i vanliga partiklar.Den exponentiella uppblåsningen leder till att avståndet mellan partiklarsom innan inflationsfasen befann sig i kontakt med varandra, blev så stortatt de fortfarande inte kan observera varandra. Detta löser problemet medmikrovågsbakgrundens isotropi. Om vi observerar mikrovågsstrålningenfrån två diametralt motsatta punkter på himlen, så tycks de ligga så långtbort från varandra att de inte har haft tid att utbyta några signaler, ochdärmed finns det inte något bra skäl till att de skall ha samma temperatur,vilket de har. Inflationsmodellen löser detta problem genom att dessa bådapunkter har varit i kausal kontakt med varandra innan inflationsfasen, ochdå har de kunnat ställa in sig på samma temperatur.Inflationsfasen förklarar också varför det är ont om magnetiska monopoleri vårt universum. Eftersom monopolerna bildades före inflationsfasen,så har deras täthet sjunkit drastiskt under inflationsfasen, så att vi nuförväntar oss att hitta ungefär en monopol i hela det observerbara universumet.Inflationsfasen har också lett till att universum har plattats till, vilketförklarar varför universum idag är platt.4