SVAR OCH L¨OSNINGSANVISNIGAR TILL TENTAMEN I ...

Alternativt kan problemet lösas med hjälp av stegoperatorer.———————————————————————————————————————9. En jon har banrörelsemängdsmoment, l = 1 och spinn noll i vakuum och därmedtre degenererade energinivåer. Den omges av fyra laddningar i en kristallin omgivning.Detta ger tillsammans med ett yttre magnetfält B som pekar i z-led upphov till en störningsom beskrivs av Hamiltonoperatorn:Ĥ = ᾱ h 2 (ˆL 2 x − ˆL 2 y) + βB¯h ˆL zdär α och β är en reella konstanter medan ˆL i (i = x, y, z) är komponenter av banrörelsemängdsmomentoperatorn.a) Uttryck Ĥ med hjälp av stegoperatorer ˆL ± och ˆL z ! (1 p.)b) Bestäm i lägsta ordningens störningsräkning hur de tre nivåerna flyttas ! (2 p.)c) Bestäm för fallet B = 0 de tre egenfunktionerna. (1 p.)———————————————————————————————————————Lösning: a)vilket ger:ˆL 2 x − ˆL 2 y = [ 1 2 (ˆL + + ˆL − )] 2 − [ 1 2i (ˆL + − ˆL − )] 2 x = 1 2 (ˆL 2 + + ˆL 2 −)Ĥ =α2¯h 2 (ˆL 2 + + ˆL 2 −) + βB¯h ˆL zb) Matriselementen av Ĥ mellan de ostörda tillstånden bestäms nu. Utnyttja för dettaFS 1.22, med l = 1:ˆL ± |1, m〉 =√√l(l + 1) − m(m ± 1)|1, m ± 1〉 = 2 − m(m ± 1)|1, m ± 1〉samt attˆL z |1, m〉 = m|1, m〉Operatorerna ˆL 2 + och ˆL 2 − ger noll på alla tillstånd utom följande två:ˆL 2 −|1 + 1〉 = √ 2¯hˆL − |10〉 = 2¯h 2 |1 − 1〉ˆL 2 +|1 − 1〉 = √ 2¯hˆL + |10〉 = 2¯h 2 |1 + 1〉′Det betyder att 3 × 3 matrisen 〈1m |Ĥ|1m〉 blir:H =⎛⎜⎝−βB 0 α0 0 0α 0 βBEgenvärdesekvationen ∣ ∣∣∣∣∣∣ −βB − E 0 α0 −E 0α 0 βB − E⎞⎟⎠= 0∣5