Labbrapport - Göteborgs universitet

Statistical physicsLabbrapportIsingmodelIsingmodelAuhtor: Mesut Ogur, 841020-8790E-mail: salako − s@hotmail.comAuthor: Monica Lundemo, 850124-6063E-mail: m − lundemo20@hotmail.comHandledare: Bo HellsingGöteborgs UniversitetGöteborg, Sverige, 2007-11-011

Statistical physicsIsingmodelInnehåll1 Fråga II 32 Fråga III 43 Fråga IV 54 Fråga V 55 Fråga VI 76 Fråga VII 87 Fråga VIII 108 Fråga IX 119 Slutsats 122

Statistical physicsIsingmodel1 Fråga IIVi körde ising1Dplot.m med kall ferromagnetisk start (systemet startar på låg temperaturoch därmet låg termisk energi. Denna energi är inte tillräckligt stor för att ippapå spinnen vilket medför att alla spinnen är riktade åt samma håll vid start). F igur : 1visar en plot av parametrarna N = antal spinn, J = ferromagnetisk spinnkoppling, k B T= temperatur (termisk/kinetisk energi), muB = yttre magnetfält, I = antalet iterationer(dessa parametrar gäller för alla grafer). F igur : 1 visar att de simulerade värdena följerde teoretiska värderna någorlunda väl, vilket är antydan på att det inte sker någon fasövergångvid simuleringen i en dimension. Magnetiseringen startar vid kallstart på 1, sedanuktuerar den inte så häftigt kring nollan och ger antydan till att vilja nå jämvikt ganskasnabbt.−0.1Medelenergi0.45Specifikt värme1.2Magnetisering−0.20.41−0.30.35−0.40.30.8/N−0.5−0.6C/Nk0.250.2M/N0.60.4−0.70.150.2−0.80.1−0.90.050−10 5kT00 5kT−0.20 5kTFigur 1: Plott över medelenergi, specikt värme och magnetisering med värdena N = 50, J = 1, k B T = 5, muB = O ochI = 150. De svarta kurvorna är teoreiska värden och de färgade är de simulerade värdena (gäller för alla grafer).Vi varierade sedan varje parameter och undersökte hur simuleringen påverkades. Fortfarandestämmer de simulerade värden ganska bra med de teoretiska, dvs. det sker ingenfasövergång i en dimension. Om man utför er iterationer så kan man få exeptionellt godavärden vilket man ser i F igur : 2. I de fall vi har tittat på, beroende på vad för parametervi ändrat på, så har systemet ändrats på ett karaktäristiskt sätt. Höjning av temperaturen,och utan yttre magnetfält, leder till att uktuationerna blir häftigare på grund av högretermisk energi och därför tar det längre tid att nå jämvikt. Om man istället ändrar magnetfältetoch håller temperaturen låg kommer det att leda till att uktuationerna minskaroch går mot noll.3

Statistical physicsIsingmodel−0.1Medelenergi0.45Specifikt värme1.2Magnetisering−0.2−0.30.40.351−0.40.30.8/N−0.5−0.6C/Nk0.250.20.15M/N0.60.4−0.70.10.2−0.8−0.90.0500−10 5kT−0.050 5kT−0.20 5kTFigur 2: Plott över medelenergi, specikt värme och magnetisering. Värdena är här desamma som för F igur : 1, men medI = 5002 Fråga IIIVi repeterade nu föregående fråga, fast med varm start (systemet startar på hög temperaturoch därmet hög termisk energi. Denna energi är tillräckligt stor för att ippa påspinnen vilket betyder att spinnen inte är riktade åt samma håll då vi startar. Systemetkörs som om det redan har varit igång och därför så är spinnen godtyckligt riktade). Manser på F igur : 3 att uktuationerna är mkt intensivare och det verkar som att systemet tarlängre tid på sig innan det når jämvikt. Detta kan jämföras med ändring till hög temperaturi fråga II. Ändringar av andra parametrar leder till att systemet ändras på liknandesätt som i fråga II. Det ska nämnas att det simulerade specika värmet skiljer sig avsevärtfrån det teoretiska i början. Det beror på att vi startar med en för stor medelenergi ochsystemet reagerar på det innan det kan börja stabiliseras. (Detta gäller för de esta gurerdär specika värmet avviker från den teoretiska kurvan).4

Statistical physicsIsingmodel0Medelenergi3.5Specifikt v?rme0.2Magnetisering−0.1−0.2−0.332.50.10−0.42−0.1/N−0.5−0.6C/Nk1.5M/N−0.2−0.3−0.7−0.8−0.910.5−0.4−0.5−10 5kT00 5kT−0.60 5kTFigur 3: Plott över medelenergi, specikt värme och magnetisering med värdena N = 50, J = 1, k B T = 5, muB = O ochI = 1503 Fråga IVHelt klart får vi bättre värden ju er iterationer vi har på våran simulering. Så om vi låter Igå mot oändligheten och väljer att plotta K nästan oändligheten så borde systemet liggai jämvikt. Egentligen är det bara att välja I tillräckligt stort och låta K ≤ I för att systemetska nå jämvikt. Ett annat sätt vore att programmera in så att datorn bara plottar den delav simuleringen med amplitud, t.ex. 5 procent av startamplituden. Då uktuationerna inteöverstiger denna 5 procents-gräns, kan man anta att systemet är i jämvikt.4 Fråga VDet specika värmet har beräknats ur följande samband, med β = 1k B T< (∆E) 2 >= ∂2 lnZ(1)∂β 2Detta kan jämföras med det uttryck som nns i isingplot.m som ärck B=(N5− 2N)k B T 2 (2)

Statistical physicsIsingmodelMed N = 1 och (∆E) 2 = < E 2 > - < E > 2 = k B T 2 ∂∂Tvilket påvisar att ekv. 1och 2 är ekvivalenta. Skalningen med k B och det specika värmet är nödvändig ifall vi skabeskriva energier med låga temeperaturer.5 Fråga VIVi gjorde ett antal körningar med ferromagnetisk kall start där vi succesivt ökade N ochI. Vi började med låga värden på parametrarna N och I och som tidigare konstaterat såuktuerar systemet kring noll men vill gärna ta sin tid innan det närmar sig jäm−0.1Medelenergi0.45Specifikt värme1Magnetisering−0.2−0.30.40.350.8−0.40.30.6/N−0.5−0.6C/Nk0.250.20.15M/N0.40.2−0.70.10−0.8−0.90.050−0.2−10 5kT−0.050 5kT−0.40 5kTFigur 4: Plott över medelenergi, specikt värme och magnetisering med värdena N = 50, J = 1, k B T = 5, muB = O ochI = 200Sedan ökade vi N och I. Vi såg att ju er spinn vi simulerade desto mer iterationerkrävdes det för att det skulle ge bra värden på simuleringen. I F igur : 5, med stortantal spinn och ännu större antal iterationer, ser man att de simulerade värdena stämmermycket väl med de teoretiska och att uktuationerna △E varierar mer som en sinusvågän de tidigare uktuationerna. Detta beror på att ippet på det enskillda spinnet har enmycket mindre påverkan på medelenergin då det är ett stort antal spinn, vilket resulterari små uktuationer som vi just nämnt.6

Statistical physicsIsingmodel−0.1Medelenergi1.8Specifikt värme1.2Magnetisering−0.21.61−0.31.4−0.41.20.8/N−0.5−0.6C/Nk10.8M/N0.60.4−0.70.60.2−0.80.4−0.90.20−10 5kT00 5kT−0.20 5kTFigur 5: Plott över medelenergi, specikt värme och magnetisering med N = 1000, J = 1, k B T = 5, muB = O och I =50006 Fråga VIIVi repeterade föregående fråga, fast med varm start. På samma sätt som med kall startberor uktuationernas storlek på antalet iterationer och spinn. Vid varm start är skillnadenatt systemet uktuerar från start kring jämviktsläget, vilket det inte gör med ferromagnetiskkall start. Se F igur : 6 och F igur : 7.7

Statistical physicsIsingmodel0Medelenergi9Specifikt v?rme0.3Magnetisering−0.1−0.2870.2−0.360.1/N−0.4−0.5−0.6C/Nk54M/N0−0.1−0.73−0.2−0.82−0.91−0.3−10 5kT00 5kT−0.40 5kTFigur 6: Plott över medelenergi, specikt värme och magnetisering med värdena N = 50, J = 1, k B T = 5, muB = O ochI = 200−0.1Medelenergi400Specifikt v?rme0.04Magnetisering−0.23500.03−0.33000.02−0.42500.01/N−0.5−0.6C/Nk200M/N0−0.01−0.7150−0.02−0.8100−0.03−0.950−0.04−10 5kT00 5kT−0.050 5kTFigur 7: Plott över medelenergi, specikt värme och magnetisering med värdena N = 1000, J = 1, k B T = 5, muB = Ooch I = 50008

Statistical physicsIsingmodel7 Fråga VIIIVi undersökte här hur magnetiseringen påverkas av att yttre magnetfält. Vi varierade dåmagnetfältet med olika styrkor, både med ferromagnetisk kall start och med varm start.Som tidigare påpekats i föregående uppgifter så kommer ett pålagt magnetfält vid låg temperaturatt stabilisera funktionerna så att de går mot ett jämviktsläge. Detta jämviktslägevarierar med magnetfältets styrka, är fältet tillräckligt starkt kommer jämviktsläget varavid magnetiseringen M = 1 och då sker inga uktuationer alls. Beroende på om man startarmed kall start eller varm start, så får man bara olika startvärden på magnetiseringen menvid lika parametrar kommer jämvikstläget vara lika för båda simulationerna. F igur : 8visar en plot över varmstart med magnetfält. Man kan se att systemet uktuerar kringkring M = 0,9 där jämviktsläge antas vara i detta fall.0Medelenergi6000Specifikt värme1Magnetisering−150000.9−240000.8/N−3C/Nk3000M/N0.7−420000.6−510000.5−60 5kT00 5kT0.40 5kTFigur 8: Plott över medelenergi, specikt värme och magnetisering med värdena N = 500, J = 1, k B T = 5, muB = 5 ochI = 6509

Statistical physicsIsingmodel8 Fråga IXHär körde vi ising2Dplot.m med ferromagnetisk kall start på ett 20×20 gitter och utanmagnetfält. I teorin ska det ske en fasövergång vid k B T = J/0,44. Ur F igur : 9 med J =1 ser vi att fasövergången stämmer väl överens med det simulerade resultatet. På grundav den ökade temperaturen minskar magnetiseringen vid fasövergången. Man kan också seatt det specika värmet divergerar vid fasövergången. För att påvisa att detta verkligenstämmer så går det att se i F igur : 10 med J = 2 att fasövergången stämmer väl medteorin och att den specika värmen divergerar i den punkten fasövergången sker.−0.5Medelenergi0.12Specifikt värme1Magnetisering0.10.90.8−10.080.7/NC/Nk0.06M/N0.6−1.50.040.020.50.40.3−20 5kT00 5kT0.20 5kTFigur 9: Plott över medelenergi, specikt värme och magnetisering med 20×20 gitter och värdena J = 1, k B T = 5, muB= 1, K = 400 och I = 50010

Statistical physicsIsingmodel−1.5Medelenergi0.2Specifikt värme1Magnetisering−20.180.160.9−2.50.140.8−30.120.7/N−3.5C/Nk0.10.08M/N0.6−40.060.50.04−4.50.020.4−50 5 10kT00 5 10kT0 5 10kTFigur 10: Plott över medelenergi, specikt värme och magnetisering med 20×20 gitter och värdena J = 2, k B T = 5, muB= 1, K = 400 och I = 5009 SlutsatsVåra simuleringar stämmer överens med de i teorin förväntade modellerna i 1 dimensionoch 2 dimensioner. I 2 dimensioner ser man att det specika värmet som man plottat mottemperaturen k B T divergerar vid den punkt där fasövergången sker. Jämför man det medresultat i 1 dimension så kan man se att det specika värmet inte divergerar vid någonpunkt alls och därmed kan man anta att någon fasövergång inte sker. Tittar man sedanpå magnetiseringen och jämför mellan 1 och 2 dimensioner så uktuerar magnetiseringenkring jämviktsläget när temperaturen ökar till skillnad från det 2-dimensionella fallet dåmagnetiseringen sjunker när temperaturen ökar.11