Repetitionsfrågor inför muntlig tentamen på grundkurs i “Matematisk ...

Lunds Universitet och LTH 2011Matematisk statistikRepetitionsfrågor inför muntlig tentamen pågrundkurs i “Matematisk Statistik”1 Sannolikhetsteori1. Definiera begreppet σ-algebra, och ge två exempel på sådana. Definiera utfallsrum,elementarhändelser och händelser.2. Definiera union, snitt och komplement av två händelser. Vad betyder det att tvåhändelser A, B är disjunkta?3. Om A är en godtycklig samling av delmängder av Ω, kan man konstruera en σ-algebrafrån denna? Varför vill man göra det?4. Ge definitionen av en sannolikhet (dvs av ett sannolikhetsmått).5. Visa från definitionen av sannolikhet att(i) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).(ii) Om A ⊂ B så P (B) = P (A) + P (B \ A).6. Låt {A i } ∞ i=1 vara en växande sekvens A 1 ⊂ A 2 ⊂ ... av händelser. Låt A = ∪ ∞ i=1 A i.Visa att P (A) = lim i→∞ P (A i ).7. Definiera betingade sannolikheter. Definiera oberoende händelser.8. Visa Bayes sats. Visa satsen om total sannolikhet.9. Definiera begreppen stokastisk variabel (stokastisk varibel) och fördelningsfunktion.Varför är mätbarhet viktigt?10. Definera diskreta stokastisk varibel och sannolikhetsfunktion. Definiera kontinuerligastokastisk varibel och täthetsfunktion.11. Definiera Riemann-Stieltjes integralen ∫ g(x) dF (x). Låt X vara en stokastisk varibelmed fördelingsfunktion F och g en funktion sådan att E(g(X)) < ∞. Ge mening åtuttrycket ∫ g(x) dF (x) i de båda fallen då(i) X är diskret stokastisk varibel,(ii) X är kontinuerlig stokastisk varibelBevisa de erhållna formlerna utgående från definitionen av Riemann-Stieltjes integralen.1

12. Låt 1{A} vara indikatorfunktionen för en händelse. Låt p = P (A). Vad är E(1{A})?Vad är Var(1{A})?13. Definiera väntevärde, varians och standardavvikelse för en stokastisk varibel.14. Definiera binomialfördelningen Bin(n, p) och beskriv när den uppkommer. Härledutrycken för väntevärdet och variansen i denna.15. Definera Poissonfördelingen P o(m) och beskriv när den uppkommer. Härled utrycketför variansen i denna.16. Låt X, Y vara två diskreta stokastiska varibler. Definera betingad sannolikhetsfunktionoch betingat väntevärde. Vad innebär att de är oberoende?17. Definiera likformig fördelning Un(0, 1). Härled väntevärdet och variansen för denna.18. Definera exponentialfördelning Exp(θ). Härled väntevärdet och variansen.19. Definera normalfördelingen N(µ, σ 2 ). Visa att om X ∈ N(0, 1) så gäller att aX + b ∈N(a, b 2 ).20. Låt X, Y vara två kontinuerliga stokastisk varibel Definera betingad täthetsfunktionoch betingat väntevärde. Vad innebär att X, Y är oberoende?21. Härled faltningsformeln för två kontinuerliga stokastisk varibel X, Y . Hur ser den utom X, Y är oberoende?22. Om X = (X 1 , . . . , X n ) är en stokastisk vektor, g en bijektion, ochY = (Y 1 , . . . , Y n ) = g(X 1 , . . . , X n ),uttryck täthetsfunktionen för Y som funktion av täthetsfunktionen för X. Bevisa dittpåstående.23. Vad säger stora talen lag (STL) och centrala gränsvärdessatsen (CGS)? Ge ett bevisför STL.2 Inferensteori1. Låt x 1 , . . . , x n vara ett stickprov av X ∼ F ∈ {F θ : θ ∈ Θ}. Vad är målet i inferensteorin?Hur definieras parametriska, icke-parameriska och semi-parametriska problem?2. Vad är en skattare (statistika)?3. Definera den empiriska fördelningsfunktionen F n baserad på ett stickprov. Vad harnF n (x) för fördelning? Härled från detta E(F n (x)) och Var(F n (x)).4. Låt x 1 , . . . , x n vara observationer av X ∼ F . Beskriv E(g(X)) som en funktional avF och definera sedan plug-in skattaren av E(g(X)). Tillämpa detta på skattning avväntevärdet och variansen.2

5. Definiera väntevärdesriktighet av en skattare. Definera medelkvadratfelet av en skattare.Härled uppdelingen av medelkvadratfeletmse(ˆθ) = bias(ˆθ) 2 + Varˆθ.6. Definera konsistens av en skattare; i kvadratiskt medel, nästan säkert och i sannolikhet.Visa att konsistens i kvadratiskt medel medför konsistens i sannolikhet.7. Visa att plug-in skattaren av en linjär funktional är konsistent i kvadratisk medel (ochalltså också i sannolikhet).8. Beskriv ML-metoden för skattning av en parameter θ.9. Låt x 1 , . . . , x n vara ett stickprov från N(µ, σ 2 ), med µ och σ 2 okända. Härled MLskattarnaav µ och σ 2 .10. Låt x vara ett stickprov från Bin(n, p) med p okänt. Härled ML-skattaren av p.11. Beskriv MK-metoden för skattning av en parameter θ.12. Härled MK-skattarna för parametrarna i fråga 9 och 10.13. Beskriv iden bakom konfidensintervall med konfidensgrad.14. Beskriv en metod (med användande av en pivot-funktion) för att konstruera konfidensintervalloch test.15. Beskriv iden bakom statistiska test. Definiera begreppen noll- och mothypoteser, teststatistika,kritiskt område och signifikansnivå. Beskriv direktmetoden, med p-värde.Definiera styrkefunktionen.16. Låt x 1 , . . . , x n vara ett stickprov av N(µ, σ 2 ), med µ okänt, σ 2 känt. Härled ett 95%konfidensintervall för µ. Härled ett test på nivån 5% för några (välj själv) hypoteser.17. Härled ett uttryck för styrkefunktionen för testet i fråga 16.18. Anta att x 1 , . . . , x n är ett stickprov av N(µ, σ 2 ), med µ och σ 2 okända. Härled ett 95%konfidensintervall för σ 2 . Härled ett test på nivån 5% för några (välj själv) hypoteser.19. Låt x 1 , . . . , x n vara ett stickprov av N(µ, σ 2 ), med µ och σ 2 okända. Härled ett 95%konfidensintervall för µ. Härled ett test på nivån 5% för några (välj själv) hypoteser.20. Beskriv problemet med simultana konfidensintervall och upprepade test. Beskriv Bonferroniskorrektionsmetod. Beskriv vad detta innebär för den empiriska fördelningsfunktionenF n .21. Hur gör man icke-parametriska en-sampel test med hjälp av empiriska fördelningsfunktionenF n ? Hur konstruerar man konfidensband för F ?Hur konstruerar man k-sampel test?22. Låt θ = E(g(X)) vara en linjär funktional av F , och betrakta plug-in skattaren ˆθ n =1n∑ ni=1g(X i ). Vad har för ˆθ n för gränsvärdesfördelning? Anta att Var(g(X)) = σ 2 ärkänd och härled att approximativt 95% konfidensintervall för E(g(X)).3

23. Låt (x i , y i ) n i=1 vara observationer av regressionsproblemety i = α + β(x i − ¯x) + ɛ i ,med ɛ i ∈ N(0, σ 2 ) oberoende stokastisk varibel Härled ML-skattarna av α och β. Antaatt σ 2 = Var(ɛ 1 ) är känd och härled ett 95% konfidensintervall för α. Gör motsvarandeför β.24. Låt (x i , y i ) n i=1vara observationer av regressionsproblemety i = α + β(x i − ¯x) + ɛ i ,med ɛ i oberoende stokastisk varibel med E(ɛ i ) = 0, Var(ɛ i ) = σ 2 . Härled MKskattarnaav α och β. Anta att σ 2 = Var(ɛ 1 ) är känd och härled ett approximativt95% konfidensintervall för α. Gör motsvarande för β.25. Konstruera ett test på nivån 5% i fråga 14 för H 0 : µ = 0 mot H 1 : µ ≠ 0.26. Anta att x 1 , . . . , x n är oberoende observationer av en stokastisk varibel X med okändfördelning F sådan att täthetstfunktionen f = F ′ existerar. Hur skattar man täthetsfunktionenf? Vad har skattaren för egenskaper? Varför vill man inte användahistogrammet?27. Anta att (x i , y i ), i = 1, . . . , n är par av punkter sådana atty i = m(x i ) + ɛ i ,där ɛ i är oberoende stokastisk varibel med E(ɛ i ) = 0, Var(ɛ i ) = σ 2 , och m en okändfunktion. Hur skattar man regressionsfunktion m? Vad har skattaren för egenskaper?4