Exempelsamling Vektoranalys

98Här har vi utnyttjat att∇φ ‖ F och rotF = e rr 2 = − grad 1 rEnligt en annan variant av Gauss’ sats är∫∫∫ (∇ φ 1 ) ∫∫dV = ○ φ 1 r r dSoch vi har∫∫○SV∫∫φF × dS = ○ φ 1 ∫∫∫S r dS − VS1r ∇φdV191. 191a) Ur A(λx, λy, λz) = λ n A(x, y, z) får man genom derivering(x ∂A∂x + y∂A ∂y + z ∂A )= nλ n−1 A(x, y, z)∂zI limes då λ → 1 gäller därförb) Vi behöver(r · ∇)A = nA∇(r · A) = (r · ∇)A + (A · ∇)r + r × (∇ × A) + A × (∇ × r) =och får nu= nA + A + r × (∇ × A) + 0∇ · (r(r · A)) = (∇ · r)(r · A) + r · ∇(r · A) == 3(r · A) + (n + 1)(r · A) + r · (r × (∇ × A)) == (n + 4)(r · A)192. 192∫∫e i · ○S∫∫· · · = ○=e i · e rS r 3 e r · ˆn dS = {Gauss’ sats} =∫∫∫∇ · (e i · e r )e rr 3 dVV∇ · (e i · r)e rr 4 = e rr 4 · ∇(e i · r) +(e i · r) ∇ · er} {{ }} {{r 4}=e i(= e i · − e ) ( )r1r 4 = e i · grad3r 3e i bryts ut ur integralen och då i = x, y och z inses att∫∫ ∫∫∫ ( ) 1○ · · · = grad3r 3 dVSV=−2/r 5 =