Exempelsamling Vektoranalys

96184. 184 ∫∫∫∫(∇φ × ∇ψ) · dS = (−∇ × (ψ∇φ) + ψ∇ × ∇φ) · dSSSMen ∇ × ∇φ = 0 och enligt Stokes’ sats är∫∫∮∇ × (ψ∇φ) · dS = ψ∇φ · drSOm nu C är en ekvipotentialkurva till φ så gäller där ∇φ ⊥ dr eller ∇φ · dr = 0.Alltså∫∫(∇φ × ∇ψ) · dS = 0SC185. 185∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇ 2 A∇ · A = (n + 1)ρ n−1∇(∇ · A) = (n 2 − 1)ρ n−2 e ρ∇ × A = 0Detta geroch ekvationen blirdvs.∇ 2 A = (n 2 − 1)ρ n−2 e ρ(n 2 − 1 − m)ρ n−2 = 0n = ± √ 1 + m186. 186a)UrerhållsdivF = 1 r 2 ddr r2 f(r) = 0 ger f = C r 2∫∫C○S r 2e r · dS = QC = Q 4πb)∫CF · dr = Q 4π∫Cr · drr 3= Q 4π∫ r1Oberoende av vägen (rotF = 0 för |r| ≠ 0). Man får∫r 0= a √ 0 + 16 + 0 = 4ar 0drr 2r 1 = a √ 0 + 16 + 9 = 5aF · dr = Q (− 1C 4π 5a + 1 )= Q4a 80πa