Exempelsamling Vektoranalys
Exempelsamling Vektoranalys Exempelsamling Vektoranalys
95a) (2xy − y − 2z, −y 2 , 2y)b) (−6xy, xz, 2x 2 y − y 3 )c) (−yz − z 2 , 2x 2 − y 2 , 0)d) (2, 2, 2x)181. 181 Sätt A = gradφ.div(φrotB) = gradφ · rotB + φdiv rotB == gradφ · rotB∫∫∫∫∫∫∫A · rotB dV = ○ φrotB · ˆn dS = φ S ○ rotB · ˆn dS =VSS∫∫∫= φ S div rotB dV = 0V182. 182 Lägg z-axeln parallellt med a och inför sfäriska koordinater:Fältet är singulärt i origo.A = grad a cosθr 2A = grad a cosθr 2= −2a cosθr 3divA = 0 då r ≠ 0e r − a sin θr 3 e θFlödet ut genom kuben = flödet ut genom en sfär kring origo.∫∫○ A · e r dS = − 2a ∫ πR 2π cosθ sin θ dθ = 0r=R0183. 183 Bilda D(r) ≡ A(r) − B(r). Vi vet attrotD = 0 ⇒ D = gradφVidare gällerdivD = div gradφ = 0 (1)På S gällerD · ˆn = 0 dvs. gradφ · ˆn = 0 (2)(1) och (2) leder till att φ = C, dvs.D ≡ 0 i V
96184. 184 ∫∫∫∫(∇φ × ∇ψ) · dS = (−∇ × (ψ∇φ) + ψ∇ × ∇φ) · dSSSMen ∇ × ∇φ = 0 och enligt Stokes’ sats är∫∫∮∇ × (ψ∇φ) · dS = ψ∇φ · drSOm nu C är en ekvipotentialkurva till φ så gäller där ∇φ ⊥ dr eller ∇φ · dr = 0.Alltså∫∫(∇φ × ∇ψ) · dS = 0SC185. 185∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇ 2 A∇ · A = (n + 1)ρ n−1∇(∇ · A) = (n 2 − 1)ρ n−2 e ρ∇ × A = 0Detta geroch ekvationen blirdvs.∇ 2 A = (n 2 − 1)ρ n−2 e ρ(n 2 − 1 − m)ρ n−2 = 0n = ± √ 1 + m186. 186a)UrerhållsdivF = 1 r 2 ddr r2 f(r) = 0 ger f = C r 2∫∫C○S r 2e r · dS = QC = Q 4πb)∫CF · dr = Q 4π∫Cr · drr 3= Q 4π∫ r1Oberoende av vägen (rotF = 0 för |r| ≠ 0). Man får∫r 0= a √ 0 + 16 + 0 = 4ar 0drr 2r 1 = a √ 0 + 16 + 9 = 5aF · dr = Q (− 1C 4π 5a + 1 )= Q4a 80πa
- Page 45 and 46: 44189. 189 Använd Stokes’ sats f
- Page 47 and 48: 46198. 198 Vektorfältet A har kont
- Page 49 and 50: 48Svar och lösningsanvisningar1. 1
- Page 51 and 52: 5020. 20 Betrakta nivåytan φ = x
- Page 53 and 54: 52e) 12π/534. 34 4πR 335. 35 3233
- Page 55 and 56: 5450. 50 Låt S ∗ vara en cirkel
- Page 57 and 58: 5661. 61 Eftersom rotA = (1, 1, 1),
- Page 59 and 60: 58h) alt. II:tyochh) alt. III:rot((
- Page 61 and 62: 6072. 7212 ○ ∫∫SdS × (a × r
- Page 63 and 64: 6283. 83a) På C ärr = a(cosϕ, si
- Page 65 and 66: 6487. 87 Linjeintegralens i:e kompo
- Page 67 and 68: 66(4, 5) → (3) ger slutligen:dvs.
- Page 69 and 70: 68b)c)∇ × A ==1r 2 sinθ1r 2 sin
- Page 71 and 72: 70a) rotF = 0b)divF = cos3θr 4 sin
- Page 73 and 74: 72111. 111 − 4 cosθr 4 e r112. 1
- Page 75 and 76: 74a)b)∫∫1○S r e r · ˆn dS =
- Page 77 and 78: 76125. 125 Differentialekvationerna
- Page 79 and 80: 78Då ε → 0 blir4πhφ(0, −) =
- Page 81 and 82: 80139. 139 Integralen ==∮C 1∮
- Page 83 and 84: 82d)e)f)gradφ =(1 ∂φ√u2 + v 2
- Page 85 and 86: a) Ur ⎧⎪ ⎨⎪ ⎩ξ 2 = ρ
- Page 87 and 88: 86148. 148r = (r cosϕsin θ, r sin
- Page 89 and 90: 88b) δ ij ε ijk = ε iik = 0c)ε
- Page 91 and 92: 90161. 161∮− φA · drC162. 162
- Page 93 and 94: 92172. 172∫∫∫(A div A − A
- Page 95: 94177. 177∇ · (ω × r) = r · (
- Page 99 and 100: 98Här har vi utnyttjat att∇φ
- Page 101 and 102: 100a)∫∫e ϕ × ˆndS =S∫∫=
- Page 103 and 104: 102b)∇ 2 ∇ 2 u =∇ 2 u =u =1 (
95a) (2xy − y − 2z, −y 2 , 2y)b) (−6xy, xz, 2x 2 y − y 3 )c) (−yz − z 2 , 2x 2 − y 2 , 0)d) (2, 2, 2x)181. 181 Sätt A = gradφ.div(φrotB) = gradφ · rotB + φdiv rotB == gradφ · rotB∫∫∫∫∫∫∫A · rotB dV = ○ φrotB · ˆn dS = φ S ○ rotB · ˆn dS =VSS∫∫∫= φ S div rotB dV = 0V182. 182 Lägg z-axeln parallellt med a och inför sfäriska koordinater:Fältet är singulärt i origo.A = grad a cosθr 2A = grad a cosθr 2= −2a cosθr 3divA = 0 då r ≠ 0e r − a sin θr 3 e θFlödet ut genom kuben = flödet ut genom en sfär kring origo.∫∫○ A · e r dS = − 2a ∫ πR 2π cosθ sin θ dθ = 0r=R0183. 183 Bilda D(r) ≡ A(r) − B(r). Vi vet attrotD = 0 ⇒ D = gradφVidare gällerdivD = div gradφ = 0 (1)På S gällerD · ˆn = 0 dvs. gradφ · ˆn = 0 (2)(1) och (2) leder till att φ = C, dvs.D ≡ 0 i V
Change language