Exempelsamling Vektoranalys
Exempelsamling Vektoranalys Exempelsamling Vektoranalys
93varavB = µ 0 3r(m · r) − mr 24π r 5Viktigt alternativ: Välj e z ‖ m ⇒ m = me zMed sfäriska koordinater:A =rotA =µ 0m sin θ4π r 2 e ϕµ (0m 2 cosθ4π r 3 e r + sin θ )r 3 e θ175. 175a)dVds = ∇V · ŝ = 2b)i riktningen 2e r − e θ .( ) dV= |∇V | = √ 10dsmax176. 176 Enligt Gauss’ sats gäller∫∫ ∫∫∫○ E · dS =Alltså ärMenAlltsåSVdivEdV = 1 ε 0∫∫∫Vρ(r)dV = 1 ε 0Q∫∫Q = ε 0 ○ E · dS = ε 0ρ 0 a 2 ( )x2S ε 0 a∫∫S○ a 2 + y2b 2 + z2c 2 dS∫∫○S∫∫x 2 dS = ○S= 1 ∫∫3 ○∫∫y 2 dS = ○ z 2 dS =S(x 2 + y 2 + z 2 )dS = 1 ∫∫3 a2 ○ dS =S= 4πa43Q = ρ 04πa 33(1 + a2b 2 + a2c 2 )S
94177. 177∇ · (ω × r) = r · (∇ × ω) − ω · (∇ × r) = 0 + 0∇ × (ω × r) = ω(∇ · r) − (ω · ∇)r = 3ω − ω = 2ω∇ · a = ∇ · ( ˙ω × r) + ∇ · (ω × (ω × r)) == 0 + ∇ · (ω(ω · r) − ω 2 r) == ω · ∇(ω · r) − ω 2 ∇ · r = ω · ω − 3ω 2 = −2ω 2∇ × a = ∇ × (ω(ω · r) − ω 2 r) = ∇(ω · r) × ω − ω 2 ∇ × r == ω × ω + 0 = 0178. 178 Eftersomi = 1 µ 0∇ × Bhar vii × B = 1 (∇ × Ḅ) × B = 1 ((B · ∇)Ḅ − ∇(Ḅ · B)) =µ 0 µ 0= 1 ( )) 1((B · ∇)B − ∇µ 0 2 B · BAlltså ärf = 1 µ 0(B · ∇)B − ∇(p + 12µ 0B 2 )179. 179( (p ∂divF =r 2 r 2 sin θ 2 cosθ )sin θ ∂r r 3 + ∂ (r sin θ sin θ ))∂θ r 3 == −p 2 cosθr 4 + p 2 cosθr 4 = 0e∣ r re θ r sin θ e ϕ∣rotF =1r 2 sin θ∣∂∂r2 cosθr 3∂∂θ∂∂ϕsin θr 2 0= (0, 0, 0)∣Kommentar: F = gradφ 1 + gradφ 2 där φ 1 och φ 2 är potentialer från plus- ochminusladdning, ger1) rotF = 0 ty rotgradφ = 02) ∇ · F = 0 ty ∇ 2 φ 1 = ∇ 2 φ 2 = 0180. 180
- Page 43 and 44: 42a) rotA.b) (B · ∇)A.c) (A ·
- Page 45 and 46: 44189. 189 Använd Stokes’ sats f
- Page 47 and 48: 46198. 198 Vektorfältet A har kont
- Page 49 and 50: 48Svar och lösningsanvisningar1. 1
- Page 51 and 52: 5020. 20 Betrakta nivåytan φ = x
- Page 53 and 54: 52e) 12π/534. 34 4πR 335. 35 3233
- Page 55 and 56: 5450. 50 Låt S ∗ vara en cirkel
- Page 57 and 58: 5661. 61 Eftersom rotA = (1, 1, 1),
- Page 59 and 60: 58h) alt. II:tyochh) alt. III:rot((
- Page 61 and 62: 6072. 7212 ○ ∫∫SdS × (a × r
- Page 63 and 64: 6283. 83a) På C ärr = a(cosϕ, si
- Page 65 and 66: 6487. 87 Linjeintegralens i:e kompo
- Page 67 and 68: 66(4, 5) → (3) ger slutligen:dvs.
- Page 69 and 70: 68b)c)∇ × A ==1r 2 sinθ1r 2 sin
- Page 71 and 72: 70a) rotF = 0b)divF = cos3θr 4 sin
- Page 73 and 74: 72111. 111 − 4 cosθr 4 e r112. 1
- Page 75 and 76: 74a)b)∫∫1○S r e r · ˆn dS =
- Page 77 and 78: 76125. 125 Differentialekvationerna
- Page 79 and 80: 78Då ε → 0 blir4πhφ(0, −) =
- Page 81 and 82: 80139. 139 Integralen ==∮C 1∮
- Page 83 and 84: 82d)e)f)gradφ =(1 ∂φ√u2 + v 2
- Page 85 and 86: a) Ur ⎧⎪ ⎨⎪ ⎩ξ 2 = ρ
- Page 87 and 88: 86148. 148r = (r cosϕsin θ, r sin
- Page 89 and 90: 88b) δ ij ε ijk = ε iik = 0c)ε
- Page 91 and 92: 90161. 161∮− φA · drC162. 162
- Page 93: 92172. 172∫∫∫(A div A − A
- Page 97 and 98: 96184. 184 ∫∫∫∫(∇φ ×
- Page 99 and 100: 98Här har vi utnyttjat att∇φ
- Page 101 and 102: 100a)∫∫e ϕ × ˆndS =S∫∫=
- Page 103 and 104: 102b)∇ 2 ∇ 2 u =∇ 2 u =u =1 (
93varavB = µ 0 3r(m · r) − mr 24π r 5Viktigt alternativ: Välj e z ‖ m ⇒ m = me zMed sfäriska koordinater:A =rotA =µ 0m sin θ4π r 2 e ϕµ (0m 2 cosθ4π r 3 e r + sin θ )r 3 e θ175. 175a)dVds = ∇V · ŝ = 2b)i riktningen 2e r − e θ .( ) dV= |∇V | = √ 10dsmax176. 176 Enligt Gauss’ sats gäller∫∫ ∫∫∫○ E · dS =Alltså ärMenAlltsåSVdivEdV = 1 ε 0∫∫∫Vρ(r)dV = 1 ε 0Q∫∫Q = ε 0 ○ E · dS = ε 0ρ 0 a 2 ( )x2S ε 0 a∫∫S○ a 2 + y2b 2 + z2c 2 dS∫∫○S∫∫x 2 dS = ○S= 1 ∫∫3 ○∫∫y 2 dS = ○ z 2 dS =S(x 2 + y 2 + z 2 )dS = 1 ∫∫3 a2 ○ dS =S= 4πa43Q = ρ 04πa 33(1 + a2b 2 + a2c 2 )S
Change language