Exempelsamling Vektoranalys
Exempelsamling Vektoranalys Exempelsamling Vektoranalys
91166. 166 T ij = µ 0 (H i H j − δ ij H 2 /2)167. 167a) Nej, ty om T ik ≠ T ki i K så är T ′ik ≠ T ′ ki i alla K′ .b) Nej, ty SpT ↔ = 3, men SpT ↔′ = 0.c) Nej, samma argument som i a).168. 168a) F i är kontraktionen av T ij = m(ω 2 δ ij − ω i ω j ) och x j .b) Varje vektor i xy-planet är egenvektor med egenvärde mω 2 . Varje vektorparallell med e z är egenvektor med egenvärde noll. Detta gäller med ω =(0, 0, ω).169. 169a) M ij = (3x i x j − r 2 δ ij )/r 5b) λ 1,2 = −1/r 3 , λ 3 = 2/r 3 , e 3 ‖ r170. 170a) F i = A ij v j , A ij = eε ijk B kb) λ 1,2 = ±ieB, λ 3 = 0, e 3 ‖ B171. 171∫∫∫ ∫∫∫F i = ρE i dV = ε 0 E j,j E i dV =VV∫∫∫= ε 0 ((E j E i ) ,j − E j E i,j )dV =V= {E i = −φ ,i dvs. E i,j = −φ ,ij = −φ ,ji = E j,i } =∫∫∫= ε 0 ((E j E i ) ,j − 1V2 (E jE j ) ,i )dV = {Gauss’ sats} =∫∫= ○ ε 0 (E k E i − 1 2 δ ikE j E j )dS kSD i = ε 0 E i
92172. 172∫∫∫(A div A − A × rotA) i dV =V∫∫∫= e i (A i A j,j − ε ijk A j ε klm A m,l )dV =V∫∫∫= e i (A i A j,j − (δ il δ jm − δ im δ jl )A j A m,l )dV =V∫∫∫= e i (A i A j,j − A j A j,i + A j A i,j )dV =V∫∫∫= e i (A i A j − 1V 2 δ ijA k A k ) ,j dV =∫∫= e i ○ (A i A j − 1S 2 δ ijA k A k )dS j =∫∫= e i ○ T ij dS jSFör A = E finner vi att medT ij = E i E j − 1 2 δ ijE k E kgäller∫∫∫∫∫1ρ(r)E i (r)dV = ○ T ij dS jV ε 0 SFör A = B finner vi att medT ij = B i B j − 1 2 δ ijB k B kgäller∫∫∫V∫∫µ 0 (i × B) i dV = ○ T ij dS jS173. 173 Med ∇r = e r får manGivna värden insatta gerφ = 3(m 1 · e r )(m 2 · e r ) − m 1 · m 2r 3φ = 5 |m 1 ||m 2 |4 r 3174. 174 Kan utföras på ett flertal sätt, t.ex.:(∇ × m × r )r 3 =(∇ 1 )r 3 × (m × r) + 1 ∇ × (m × r) =r3 = − 3rr 5 × (m × r) + 1 (m(∇ · r) − (m · ∇)r) =r3 = − 3 r 5 (mr2 − r(m · r)) + 1 (3m − m) =r3 3r(m · r)=r 5 − m r 3
- Page 41 and 42: 40b) och sedan på ett stationärt
- Page 43 and 44: 42a) rotA.b) (B · ∇)A.c) (A ·
- Page 45 and 46: 44189. 189 Använd Stokes’ sats f
- Page 47 and 48: 46198. 198 Vektorfältet A har kont
- Page 49 and 50: 48Svar och lösningsanvisningar1. 1
- Page 51 and 52: 5020. 20 Betrakta nivåytan φ = x
- Page 53 and 54: 52e) 12π/534. 34 4πR 335. 35 3233
- Page 55 and 56: 5450. 50 Låt S ∗ vara en cirkel
- Page 57 and 58: 5661. 61 Eftersom rotA = (1, 1, 1),
- Page 59 and 60: 58h) alt. II:tyochh) alt. III:rot((
- Page 61 and 62: 6072. 7212 ○ ∫∫SdS × (a × r
- Page 63 and 64: 6283. 83a) På C ärr = a(cosϕ, si
- Page 65 and 66: 6487. 87 Linjeintegralens i:e kompo
- Page 67 and 68: 66(4, 5) → (3) ger slutligen:dvs.
- Page 69 and 70: 68b)c)∇ × A ==1r 2 sinθ1r 2 sin
- Page 71 and 72: 70a) rotF = 0b)divF = cos3θr 4 sin
- Page 73 and 74: 72111. 111 − 4 cosθr 4 e r112. 1
- Page 75 and 76: 74a)b)∫∫1○S r e r · ˆn dS =
- Page 77 and 78: 76125. 125 Differentialekvationerna
- Page 79 and 80: 78Då ε → 0 blir4πhφ(0, −) =
- Page 81 and 82: 80139. 139 Integralen ==∮C 1∮
- Page 83 and 84: 82d)e)f)gradφ =(1 ∂φ√u2 + v 2
- Page 85 and 86: a) Ur ⎧⎪ ⎨⎪ ⎩ξ 2 = ρ
- Page 87 and 88: 86148. 148r = (r cosϕsin θ, r sin
- Page 89 and 90: 88b) δ ij ε ijk = ε iik = 0c)ε
- Page 91: 90161. 161∮− φA · drC162. 162
- Page 95 and 96: 94177. 177∇ · (ω × r) = r · (
- Page 97 and 98: 96184. 184 ∫∫∫∫(∇φ ×
- Page 99 and 100: 98Här har vi utnyttjat att∇φ
- Page 101 and 102: 100a)∫∫e ϕ × ˆndS =S∫∫=
- Page 103 and 104: 102b)∇ 2 ∇ 2 u =∇ 2 u =u =1 (
92172. 172∫∫∫(A div A − A × rotA) i dV =V∫∫∫= e i (A i A j,j − ε ijk A j ε klm A m,l )dV =V∫∫∫= e i (A i A j,j − (δ il δ jm − δ im δ jl )A j A m,l )dV =V∫∫∫= e i (A i A j,j − A j A j,i + A j A i,j )dV =V∫∫∫= e i (A i A j − 1V 2 δ ijA k A k ) ,j dV =∫∫= e i ○ (A i A j − 1S 2 δ ijA k A k )dS j =∫∫= e i ○ T ij dS jSFör A = E finner vi att medT ij = E i E j − 1 2 δ ijE k E kgäller∫∫∫∫∫1ρ(r)E i (r)dV = ○ T ij dS jV ε 0 SFör A = B finner vi att medT ij = B i B j − 1 2 δ ijB k B kgäller∫∫∫V∫∫µ 0 (i × B) i dV = ○ T ij dS jS173. 173 Med ∇r = e r får manGivna värden insatta gerφ = 3(m 1 · e r )(m 2 · e r ) − m 1 · m 2r 3φ = 5 |m 1 ||m 2 |4 r 3174. 174 Kan utföras på ett flertal sätt, t.ex.:(∇ × m × r )r 3 =(∇ 1 )r 3 × (m × r) + 1 ∇ × (m × r) =r3 = − 3rr 5 × (m × r) + 1 (m(∇ · r) − (m · ∇)r) =r3 = − 3 r 5 (mr2 − r(m · r)) + 1 (3m − m) =r3 3r(m · r)=r 5 − m r 3
Change language