Exempelsamling Vektoranalys
Exempelsamling Vektoranalys Exempelsamling Vektoranalys
89a) div rotA = (ε ijk A k,j ) ,i = ε ijk A k,ji = 0 eftersom ε ijk är antisymmetrisk ochA k,ji symmetrisk vid byte av ordningen mellan i och j.b) B · ((A · ∇)C) − A · ((B · ∇)C)c) graddivA − ∇ 2 Ad) (B · ∇)A + A divB − B divA − (A · ∇)Be) 0f) −2 gradφ + r∇ 2 φ − (r · ∇)gradφg) −2 rotA − (r · ∇)rotAh) 0i) rotB + (r · ∇)rotBj) −2 divB + r · ∇ 2 B − (r · ∇)divBk) B × ((A · ∇)C) − C × ((A · ∇)B)159. 159(((r × ∇) × (r × ∇))φ) i == (ε ijk (ε jlm x l ∂ m )(ε knp x n ∂ p ))φ == ε jlm (δ in δ jp − δ ip δ jn )x l (x n,m φ ,p + x n φ ,pm ) = {x n,m = δ mn } == ε jlm x l (δ im φ ,j + x i φ ,jm − δ jm φ ,i − x j φ ,im ) == −ε ilj x l φ ,j + 0 − 0 − ε jlm x l x j φ ,im = −(r × ∇φ) i} {{ }=0160. 160a)(∮C)A × dri===∮ ∫∫ε ijk A j dx k = ε klm ε ijk A j,m dS l =CS∫∫(δ il δ jm − δ im δ jl )A j,m dS l =S∫∫(A j,j n i − A j,i n j )dSSb)c)∫∫((B · (ˆn × ∇))A + A(ˆn · rotB))dSS∫∫(A ij,j n i − A ij,i n j )dSS
90161. 161∮− φA · drC162. 162(∫∫)(gradφ × GradA) · dSSl∫∫= ε ijk φ ,j A l,k dS i =S∫∫= ε ijk ((φA l,k ) ,j − φA l,kj )dS i =S= {ε ijk A l,kj = 0} =∮= φA l,k dx kC163. 163a)b)∫∫∫V∫∫∫(∇ × (∇ × A)) i dV = ε ijk ε klm A m,lj dV =V∫∫= ○ (δ il δ jm − δ im δ jl )A m,l dS j =S∫∫= ○ (A j,i − A i,j )dS jS∫∫○ (A × ∇φ) · dSS164. 164∫∫○ A(B · dS)S165. 165((ˆn · ∇)E + ˆn × (∇ × E) − ˆn(∇ · E)) i == n j E i,j + ε ijk n j ε klm E m,l − n i E j,j == n j E i,j + n j E j,i − n j E i,j − n i E j,j == n j E j,i − n i E j,j = ε mlk ε mji n l E j,kNu kan Stokes’ sats användas, men eftersom en sluten yta saknar randkurva, blirresultatet noll.
- Page 39 and 40: 38167. 167 En tensor har i det kart
- Page 41 and 42: 40b) och sedan på ett stationärt
- Page 43 and 44: 42a) rotA.b) (B · ∇)A.c) (A ·
- Page 45 and 46: 44189. 189 Använd Stokes’ sats f
- Page 47 and 48: 46198. 198 Vektorfältet A har kont
- Page 49 and 50: 48Svar och lösningsanvisningar1. 1
- Page 51 and 52: 5020. 20 Betrakta nivåytan φ = x
- Page 53 and 54: 52e) 12π/534. 34 4πR 335. 35 3233
- Page 55 and 56: 5450. 50 Låt S ∗ vara en cirkel
- Page 57 and 58: 5661. 61 Eftersom rotA = (1, 1, 1),
- Page 59 and 60: 58h) alt. II:tyochh) alt. III:rot((
- Page 61 and 62: 6072. 7212 ○ ∫∫SdS × (a × r
- Page 63 and 64: 6283. 83a) På C ärr = a(cosϕ, si
- Page 65 and 66: 6487. 87 Linjeintegralens i:e kompo
- Page 67 and 68: 66(4, 5) → (3) ger slutligen:dvs.
- Page 69 and 70: 68b)c)∇ × A ==1r 2 sinθ1r 2 sin
- Page 71 and 72: 70a) rotF = 0b)divF = cos3θr 4 sin
- Page 73 and 74: 72111. 111 − 4 cosθr 4 e r112. 1
- Page 75 and 76: 74a)b)∫∫1○S r e r · ˆn dS =
- Page 77 and 78: 76125. 125 Differentialekvationerna
- Page 79 and 80: 78Då ε → 0 blir4πhφ(0, −) =
- Page 81 and 82: 80139. 139 Integralen ==∮C 1∮
- Page 83 and 84: 82d)e)f)gradφ =(1 ∂φ√u2 + v 2
- Page 85 and 86: a) Ur ⎧⎪ ⎨⎪ ⎩ξ 2 = ρ
- Page 87 and 88: 86148. 148r = (r cosϕsin θ, r sin
- Page 89: 88b) δ ij ε ijk = ε iik = 0c)ε
- Page 93 and 94: 92172. 172∫∫∫(A div A − A
- Page 95 and 96: 94177. 177∇ · (ω × r) = r · (
- Page 97 and 98: 96184. 184 ∫∫∫∫(∇φ ×
- Page 99 and 100: 98Här har vi utnyttjat att∇φ
- Page 101 and 102: 100a)∫∫e ϕ × ˆndS =S∫∫=
- Page 103 and 104: 102b)∇ 2 ∇ 2 u =∇ 2 u =u =1 (
90161. 161∮− φA · drC162. 162(∫∫)(gradφ × GradA) · dSSl∫∫= ε ijk φ ,j A l,k dS i =S∫∫= ε ijk ((φA l,k ) ,j − φA l,kj )dS i =S= {ε ijk A l,kj = 0} =∮= φA l,k dx kC163. 163a)b)∫∫∫V∫∫∫(∇ × (∇ × A)) i dV = ε ijk ε klm A m,lj dV =V∫∫= ○ (δ il δ jm − δ im δ jl )A m,l dS j =S∫∫= ○ (A j,i − A i,j )dS jS∫∫○ (A × ∇φ) · dSS164. 164∫∫○ A(B · dS)S165. 165((ˆn · ∇)E + ˆn × (∇ × E) − ˆn(∇ · E)) i == n j E i,j + ε ijk n j ε klm E m,l − n i E j,j == n j E i,j + n j E j,i − n j E i,j − n i E j,j == n j E j,i − n i E j,j = ε mlk ε mji n l E j,kNu kan Stokes’ sats användas, men eftersom en sluten yta saknar randkurva, blirresultatet noll.
Change language