Exempelsamling Vektoranalys

89a) div rotA = (ε ijk A k,j ) ,i = ε ijk A k,ji = 0 eftersom ε ijk är antisymmetrisk ochA k,ji symmetrisk vid byte av ordningen mellan i och j.b) B · ((A · ∇)C) − A · ((B · ∇)C)c) graddivA − ∇ 2 Ad) (B · ∇)A + A divB − B divA − (A · ∇)Be) 0f) −2 gradφ + r∇ 2 φ − (r · ∇)gradφg) −2 rotA − (r · ∇)rotAh) 0i) rotB + (r · ∇)rotBj) −2 divB + r · ∇ 2 B − (r · ∇)divBk) B × ((A · ∇)C) − C × ((A · ∇)B)159. 159(((r × ∇) × (r × ∇))φ) i == (ε ijk (ε jlm x l ∂ m )(ε knp x n ∂ p ))φ == ε jlm (δ in δ jp − δ ip δ jn )x l (x n,m φ ,p + x n φ ,pm ) = {x n,m = δ mn } == ε jlm x l (δ im φ ,j + x i φ ,jm − δ jm φ ,i − x j φ ,im ) == −ε ilj x l φ ,j + 0 − 0 − ε jlm x l x j φ ,im = −(r × ∇φ) i} {{ }=0160. 160a)(∮C)A × dri===∮ ∫∫ε ijk A j dx k = ε klm ε ijk A j,m dS l =CS∫∫(δ il δ jm − δ im δ jl )A j,m dS l =S∫∫(A j,j n i − A j,i n j )dSSb)c)∫∫((B · (ˆn × ∇))A + A(ˆn · rotB))dSS∫∫(A ij,j n i − A ij,i n j )dSS