Exempelsamling Vektoranalys

8Beräkning av divergens och rotation37. 37 Beräkna divergensen och rotationen av följande vektorfält:a) A(x, y, z) = (x, y, z).b) A(x, y, z) = (x − y, y − z, z − x).c) A(x, y, z) = (yz, xz, xy).d) A(x, y, z) = (lnx, lny, lnz).e) A(x, y, z) = (e yz , e zx , e xy ).f) A(x, y, z) = (cosy, cosx, cos z).38. 38 Beräkna rotationen av vektorfältetA(x, y, z) = (2xyz, x 2 z, x 2 y).39. 39 Beräkna divergensen av vektorfältetA(r) = (xln z + e yz , x z ln x e x−z , z − z lnz).40. 40 Beräkna rotationen av vektorfältetA(x, y, z) = e −(x2 +y 2 +z 2) (1, 1, 1).41. 41 Beräkna A × rotA där A = (y, z, x).42. 42 Beräkna a) gradf, b) rotA, c) div gradf, d) divB, e) div(A × B) samt f)rotrotA, föri) A = x 2 e y , B = ze z , f = y 2ii) A = (x 2 y, z 3 , −xy), B = ((x + y), y + z, z + x), f = xy 2 z 3 .43. 43 Visa att vektorfältetA(x, y) = 2x √ y(4, x/y)är konservativt och bestäm dess potential.Gauss’ sats44. 44 Beräknaför följande vektorfält och ytor:∫∫○ A · dSS