Exempelsamling Vektoranalys
Exempelsamling Vektoranalys Exempelsamling Vektoranalys
87Lösningen blir (sedan randvillkoren använts):1φ = φ 0ln √ ln u2 3 √ a3151. 151a) Det räcker med att konstatera att kolumnerna i (a ik ) är ortogonala samtatt det(a ik ) = 1.b)⎛⎞0 0 0T ′ = aTa T = ⎜ 0 − √ 2 0 ⎟⎝√ ⎠0 0 2152. 152 ⎛⎜⎝cos 2 α − sinαcosα 0− sinα cosα sin 2 α 00 0 0⎞⎟⎠153. 153 ⎛⎜⎝0 sin α cosαsin α cos 2 α − sinαcosαcosα − sinα cosα sin 2 α⎞⎟⎠154. 154 Vi harByt i, j mot r, s i (1):A ij x i x j + B i x i = 0 (1)A ′ ij x′ i x′ j + B′ i x′ i = 0 (2)A rs x r x s + B r x r = {x r = a ir x ′ i , x s = a js x ′ j } == a ir a js A rs x ′ ix ′ j + a ir B r x ′ i = 0Jämförelse med (2) ger A ′ ij = a ira js A rs och B ′ i = a irB r , dvs. A ij och B i ärkomponenter av tensorer.155. 155a) δ 11 + δ 22 + δ 33 = 1 + 1 + 1 = 3
88b) δ ij ε ijk = ε iik = 0c)ε ijk ε ljk= ε i12 ε l12 + ε i13 ε l13 + ε i23 ε} {{ l23 +}δ il+ ε i21 ε l21 + ε i31 ε l31 + ε i32 ε} {{ l32 = 2δ} ilδ ilAlternativt:ε ijk ε ljk = ε jki ε jkl = δ kk δ il − δ kl δ ik = 3δ il − δ il = 2δ ild) ε ijk ε ijk = antal jämna permutationer + antal udda = 6Alternativt:ε ijk ε ijk = δ jj δ kk − δ jk δ kj = 3 · 3 − δ jj = 9 − 3 = 6156. 156a)A ′ ijkl = a ir a js a kt a lu δ rs δ tu = a ir a jr a kt a lt = {a ik a jk = δ ij } == δ ij δ kl = A ijklb)B ijkl ′ = a ir a js a kt a lu (δ rt δ su + δ ru δ st ) == a ir a js a kr a ls + a ir a js a ks a lr == δ ik δ jl + δ il δ jk = B ijklc) C ijkl = ε nij ε nkl = δ ik δ jl −δ il δ jk . Nu kan samma metod som i b) användas.157. 157a) Yttre produkten av tensorerna A ij och B kl , en tensor av fjärde ordningen.b) A ij B ji erhålls som inre produkten mellan A ij och B kl . Ordningstalet ärnoll (skalär).c) Denna tensor erhålls som partiella derivatan m.a.p. x k . Ordningstalet ärtre.d) Erhålls efter derivering av A ij m.a.p. x k resp. x l åtföljd av en kontraktion,l = i. Ordningstalet är två.e) A ij A jk är en tensor av andra ordningen. Volymsintegrering ger en ny tensorav samma ordning.158. 158
- Page 37 and 38: 36d)e)∂ 2 A ij∂x i ∂x k∫∫
- Page 39 and 40: 38167. 167 En tensor har i det kart
- Page 41 and 42: 40b) och sedan på ett stationärt
- Page 43 and 44: 42a) rotA.b) (B · ∇)A.c) (A ·
- Page 45 and 46: 44189. 189 Använd Stokes’ sats f
- Page 47 and 48: 46198. 198 Vektorfältet A har kont
- Page 49 and 50: 48Svar och lösningsanvisningar1. 1
- Page 51 and 52: 5020. 20 Betrakta nivåytan φ = x
- Page 53 and 54: 52e) 12π/534. 34 4πR 335. 35 3233
- Page 55 and 56: 5450. 50 Låt S ∗ vara en cirkel
- Page 57 and 58: 5661. 61 Eftersom rotA = (1, 1, 1),
- Page 59 and 60: 58h) alt. II:tyochh) alt. III:rot((
- Page 61 and 62: 6072. 7212 ○ ∫∫SdS × (a × r
- Page 63 and 64: 6283. 83a) På C ärr = a(cosϕ, si
- Page 65 and 66: 6487. 87 Linjeintegralens i:e kompo
- Page 67 and 68: 66(4, 5) → (3) ger slutligen:dvs.
- Page 69 and 70: 68b)c)∇ × A ==1r 2 sinθ1r 2 sin
- Page 71 and 72: 70a) rotF = 0b)divF = cos3θr 4 sin
- Page 73 and 74: 72111. 111 − 4 cosθr 4 e r112. 1
- Page 75 and 76: 74a)b)∫∫1○S r e r · ˆn dS =
- Page 77 and 78: 76125. 125 Differentialekvationerna
- Page 79 and 80: 78Då ε → 0 blir4πhφ(0, −) =
- Page 81 and 82: 80139. 139 Integralen ==∮C 1∮
- Page 83 and 84: 82d)e)f)gradφ =(1 ∂φ√u2 + v 2
- Page 85 and 86: a) Ur ⎧⎪ ⎨⎪ ⎩ξ 2 = ρ
- Page 87: 86148. 148r = (r cosϕsin θ, r sin
- Page 91 and 92: 90161. 161∮− φA · drC162. 162
- Page 93 and 94: 92172. 172∫∫∫(A div A − A
- Page 95 and 96: 94177. 177∇ · (ω × r) = r · (
- Page 97 and 98: 96184. 184 ∫∫∫∫(∇φ ×
- Page 99 and 100: 98Här har vi utnyttjat att∇φ
- Page 101 and 102: 100a)∫∫e ϕ × ˆndS =S∫∫=
- Page 103 and 104: 102b)∇ 2 ∇ 2 u =∇ 2 u =u =1 (
88b) δ ij ε ijk = ε iik = 0c)ε ijk ε ljk= ε i12 ε l12 + ε i13 ε l13 + ε i23 ε} {{ l23 +}δ il+ ε i21 ε l21 + ε i31 ε l31 + ε i32 ε} {{ l32 = 2δ} ilδ ilAlternativt:ε ijk ε ljk = ε jki ε jkl = δ kk δ il − δ kl δ ik = 3δ il − δ il = 2δ ild) ε ijk ε ijk = antal jämna permutationer + antal udda = 6Alternativt:ε ijk ε ijk = δ jj δ kk − δ jk δ kj = 3 · 3 − δ jj = 9 − 3 = 6156. 156a)A ′ ijkl = a ir a js a kt a lu δ rs δ tu = a ir a jr a kt a lt = {a ik a jk = δ ij } == δ ij δ kl = A ijklb)B ijkl ′ = a ir a js a kt a lu (δ rt δ su + δ ru δ st ) == a ir a js a kr a ls + a ir a js a ks a lr == δ ik δ jl + δ il δ jk = B ijklc) C ijkl = ε nij ε nkl = δ ik δ jl −δ il δ jk . Nu kan samma metod som i b) användas.157. 157a) Yttre produkten av tensorerna A ij och B kl , en tensor av fjärde ordningen.b) A ij B ji erhålls som inre produkten mellan A ij och B kl . Ordningstalet ärnoll (skalär).c) Denna tensor erhålls som partiella derivatan m.a.p. x k . Ordningstalet ärtre.d) Erhålls efter derivering av A ij m.a.p. x k resp. x l åtföljd av en kontraktion,l = i. Ordningstalet är två.e) A ij A jk är en tensor av andra ordningen. Volymsintegrering ger en ny tensorav samma ordning.158. 158
Change language