Exempelsamling Vektoranalys

86148. 148r = (r cosϕsin θ, r sin ϕsin θ, r cosθ)Bilda v − u = 2r cosθ och vu = r 2 (1 − cos 2 θ) = r 2 sin 2 θ.⇒r = ( √ vu cosw, √ vu sin w, (v − u)/2)h u =h v =h w =√ ∂rv + u∣∂u∣ = 2 √ u√ ∂rv + u∣∂v∣ = 2 √ v∂r∣∂w∣ = √ vuBilda u + v = 2r.⇒ gradφ = 2√ u√ v + u∂φ∂u e u + 2√ v√ v + u∂φ∂v e v + 1 √ vu∂φ∂w e w⇒ r = 1 2 (u + v)grad 1 (u + v) =2= 1 ( √ 2 u2 (u + v)1 √ e u + 2√ )v√ e v =2 v + u v + u= 1 2√u2 + uve u + 1 2√v2 + uv e v149. 149a)b)∇ 2 φ =( (1 ∂uv(u 2 + v 2 uv ∂φ )+ ∂ (uv ∂φ )+ u2 + v 2 ∂ 2 )φ) ∂u ∂u ∂v ∂v uv ∂ϕ 2 = 0φ = φ(u) ⇒ d (u dφ )= 0 ⇒ φ = a lnu + bdu duc)φ = a 2 lnr + a ln(1 + cosθ) + b2150. 150 Ortogonaliteten framgår av att ∂r/∂u, ∂r/∂v och ∂r/∂ϕ är inbördes ortogonala.h u = h v = √ u 2 + v 2 , h ϕ = uvEkvationen för φ:(du dφ )= 0du du