Exempelsamling Vektoranalys

85Alltså:∇ξ = 1 e ξ = 1 1h ξ 2ξ ρ (xe x − (ρ − y)e y )∇η = 1 e η = 1 1h η 2η ρ (xe x + (ρ + y)e y )Då|∇ξ| = 1√1 √ 2ρ(ρ − y)x2 + y|ξ| 2ρ2 + ρ 2 − 2ρy =|ξ|2ρty ρ − y = ξ 2 , har vih ξ = √ ξ 2 + η 2e ξ = 1 ξh η = √ ξ 2 + η 2e η =e ζ = e z1√ 2ρ(ξηe x − ξ 2 e y ) = 1 √ 2ρ(ηe x − ξe y )1√ 2ρ(ξe x + ηe y )= 1 √ 2ρb)⎛(a ij ) = √ 1⎜ 2ρ ⎝⎞η −ξ 0ξ η 0 ⎟√⎠0 0 2ρTydligen är basvektorerna ortogonala. Enl. a) ärh ξ = √ ξ 2 + η 2 = √ 2ρh η = √ ξ 2 + η 2h ζ = 1varavdivA = 1 ( ( ∂ ξ2ρ ∂ξ 2 (3η2 + ξ ))2 + ∂ ( η) )∂η 2 (3ξ2 + η 2 ) == 1 ( 32ρ 2 (ξ2 + η 2 ) + 3 2 (ξ2 + η ))2 = 3eftersom 2ρ = ξ 2 + η 2 .Alternativt kan A transformeras till (x, y, z) där man finnervarav resultatet följer trivialt.A = (2xe x + ye y )