Exempelsamling Vektoranalys

83145. 145a) Använd ∇ψ · dr = dψ med ψ = φ och ψ = u i i uttrycketoch vi får∇ 2 φ =∑ i= ∑ i= ∑ idφ = ∑ i∇φ = ∑ i∂φ∇ 2 u i + ∑ ∂u ii∂φ∇ 2 u i + ∑ ∂u ii∂ 2 φ∂u 2 |∇u i | 2i∂φ∂u idu i∂φ∂u i∇u i (1)( ) ∂φ∇ · ∇u i = {enl. (1)} =∂u i∑j∂ 2 φ∂u i ∂u j∇u i · ∇u j =Detta ger två villkor:a) ∇ 2 u i = 0b) ∇u i · ∇u j = δ ij |∇u i | 2b) ∇ 2 u i = 0 tillämpat på u 1 , u 2 och u 3 ger med det enklaste valet av integrationskonstanter:u 1 = 1 ru 2 = lnu 3 = ϕSkalfaktorerna fås ur ∇u i = e i /h i :(tan θ )2h 2 1 = 1 u 4 , h 2 2 = h 2 3 =11u 2 1 cosh2 u 2Alltså:∇ 2 φ = u 4 ∂ 2 (φ∂1∂u 2 + u 2 2 )φ1 cosh2 u 21∂u 2 + ∂2 φ2 ∂u 2 3146. 146r = a(coshu cosv e x + sinhu sin v e y ) + we z∂r∂u = a(sinhucosv e x + coshu sin v e y )∂r∂v= a(− coshu sin v e x + sinhucosv e y )∂r∂w = e z