Exempelsamling Vektoranalys

82d)e)f)gradφ =(1 ∂φ√u2 + v 2 ∂u e u + ∂φ )∂v e v + 1 ∂φuv ∂ϕ e ϕe u =1√ (v cosϕ, v sinϕ, u)u2 + v2 e v =1√ (u cosϕ, u sinϕ, −v)u2 + v2 e ϕ = (− sin ϕ, cosϕ, 0)r = 1 2 grad(x2 + y 2 + z 2 ) = 1 ( u 22 grad + v 2 ) 2=2√u2 + v=2(ue u + ve v )2e rr 2 = − grad 1 r = 4(u 2 + v 2 ) (ue 5/2 u + ve v )144. 144a)∇u = e r sin 2 θ 2 + e θ sin θ 2 cos θ 2∇v = e r cos 2 θ 2 − e θ sin θ 2 cos θ 22∇w =r sin θ e 1ϕ =r sin θ 2 cos θ 2Ortogonaliteten framgår av dessa uttryck och eftersom e i = h i ∇u i får vi:√1 u + vh u =sin θ =u2√1 u + vh v =cos θ =v2e ϕh w= r sin θ 2 cos θ 2 = √ uvb)=√ ( √uv 1 ∂ (u2 + uv)(u + v)uv(u + v) 2 +uv ∂u v+ ∂ √ )(v2 + uv)(u + v)uv=∂v u1(2u + v + 2v + u) = 3u + v