Exempelsamling Vektoranalys
Exempelsamling Vektoranalys Exempelsamling Vektoranalys
7Flödesintegraler33. 33 Beräkna flödesintegralen ∫∫A · dSför följande vektorfält och ytor (valfri normalriktning):a) A = (xy 2 , −2z, 0), S : z = 2x + y, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 4.b) A = (1, 2, 3), S : x 2 + y 2 + z 2 = 1, z ≥ 0.c) A = (x, −xz, z), S : y = √ x 2 + z 2 , 0 ≤ x 2 + z 2 ≤ 4d) A = (x 2 , y 2 , z 2 ), S : enhetssfären.e) A = (x 3 , y 3 , z 3 ), S : enhetssfären.S34. 34 Beräkna flödet av vektorfältetA = (x 2 , 2y, z)ut genom en sfäryta med radien R och medelpunkten i origoa) med hjälp av parametriseringenr = R(sinu cosv, sin u sinv, cosu).b) genom att sätta n = (x, y, z)/R samt använda symmetribetraktelser.35. 35 Beräkna flödet av vektorfältetA = (x 2 − y 2 , (x + y) 2 , (x − y) 2 )genom ytanr = (u + v, u − v, uv), −1 ≤ u, v ≤ 1, n · e z > 0.36. 36 Beräkna flödet av vektorfältetA = (2x, −z, y)genom skruvytanr = (u, v cosu, v sinu), 0 ≤ u ≤ π, 0 ≤ v ≤ 1, n · e x > 0.
8Beräkning av divergens och rotation37. 37 Beräkna divergensen och rotationen av följande vektorfält:a) A(x, y, z) = (x, y, z).b) A(x, y, z) = (x − y, y − z, z − x).c) A(x, y, z) = (yz, xz, xy).d) A(x, y, z) = (lnx, lny, lnz).e) A(x, y, z) = (e yz , e zx , e xy ).f) A(x, y, z) = (cosy, cosx, cos z).38. 38 Beräkna rotationen av vektorfältetA(x, y, z) = (2xyz, x 2 z, x 2 y).39. 39 Beräkna divergensen av vektorfältetA(r) = (xln z + e yz , x z ln x e x−z , z − z lnz).40. 40 Beräkna rotationen av vektorfältetA(x, y, z) = e −(x2 +y 2 +z 2) (1, 1, 1).41. 41 Beräkna A × rotA där A = (y, z, x).42. 42 Beräkna a) gradf, b) rotA, c) div gradf, d) divB, e) div(A × B) samt f)rotrotA, föri) A = x 2 e y , B = ze z , f = y 2ii) A = (x 2 y, z 3 , −xy), B = ((x + y), y + z, z + x), f = xy 2 z 3 .43. 43 Visa att vektorfältetA(x, y) = 2x √ y(4, x/y)är konservativt och bestäm dess potential.Gauss’ sats44. 44 Beräknaför följande vektorfält och ytor:∫∫○ A · dSS
- Page 1 and 2: Exempelsamling VektoranalysTeoretis
- Page 5 and 6: • risk of refusal to grant a righ
- Page 7: 629. 29 Beräkna linjeintegralen av
- Page 11 and 12: 1050. 50 Använd Gauss’ sats för
- Page 13 and 14: 1260. 60 Beräkna integralen ∮dä
- Page 15 and 16: 1466. 66 Låt φ vara ett skalärf
- Page 17 and 18: 1678. 78 Beräkna integralendär S
- Page 19 and 20: 18längs S:s slutna randkurva C. ˆ
- Page 21 and 22: 2093. 93 Vektorfältetsatisfierar e
- Page 23 and 24: 22102. 102 Temperaturfördelningen
- Page 25 and 26: 24110. 110 Låt a vara en konstant
- Page 27 and 28: 26Vilket svar hade man fått om fä
- Page 29 and 30: 28Kontinuitetsekvationen, Greens sa
- Page 31 and 32: 30Den specifika värmeledningsförm
- Page 33 and 34: 32d) Ställ upp gradienten i parabo
- Page 35 and 36: 34a) Transformera Laplaces ekvation
- Page 37 and 38: 36d)e)∂ 2 A ij∂x i ∂x k∫∫
- Page 39 and 40: 38167. 167 En tensor har i det kart
- Page 41 and 42: 40b) och sedan på ett stationärt
- Page 43 and 44: 42a) rotA.b) (B · ∇)A.c) (A ·
- Page 45 and 46: 44189. 189 Använd Stokes’ sats f
- Page 47 and 48: 46198. 198 Vektorfältet A har kont
- Page 49 and 50: 48Svar och lösningsanvisningar1. 1
- Page 51 and 52: 5020. 20 Betrakta nivåytan φ = x
- Page 53 and 54: 52e) 12π/534. 34 4πR 335. 35 3233
- Page 55 and 56: 5450. 50 Låt S ∗ vara en cirkel
- Page 57 and 58: 5661. 61 Eftersom rotA = (1, 1, 1),
7Flödesintegraler33. 33 Beräkna flödesintegralen ∫∫A · dSför följande vektorfält och ytor (valfri normalriktning):a) A = (xy 2 , −2z, 0), S : z = 2x + y, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 4.b) A = (1, 2, 3), S : x 2 + y 2 + z 2 = 1, z ≥ 0.c) A = (x, −xz, z), S : y = √ x 2 + z 2 , 0 ≤ x 2 + z 2 ≤ 4d) A = (x 2 , y 2 , z 2 ), S : enhetssfären.e) A = (x 3 , y 3 , z 3 ), S : enhetssfären.S34. 34 Beräkna flödet av vektorfältetA = (x 2 , 2y, z)ut genom en sfäryta med radien R och medelpunkten i origoa) med hjälp av parametriseringenr = R(sinu cosv, sin u sinv, cosu).b) genom att sätta n = (x, y, z)/R samt använda symmetribetraktelser.35. 35 Beräkna flödet av vektorfältetA = (x 2 − y 2 , (x + y) 2 , (x − y) 2 )genom ytanr = (u + v, u − v, uv), −1 ≤ u, v ≤ 1, n · e z > 0.36. 36 Beräkna flödet av vektorfältetA = (2x, −z, y)genom skruvytanr = (u, v cosu, v sinu), 0 ≤ u ≤ π, 0 ≤ v ≤ 1, n · e x > 0.
Change language