Exempelsamling Vektoranalys

77133. 133RV = V 0rRE = V 0r 2e r134. 134⎧⎪⎨ − γρ 06 (3R2 − r 2 ) 0 ≤ r ≤ Rφ =⎪⎩ − γρ 0R 3R ≤ r < ±∞3rφ och ∂φ/∂r är kontinuerliga för r = R.135. 135 Sätt ψ = φ + ϕ, ϕ = 0 på S∫∫∫∫∫∫(gradψ) 2 dV − (gradφ) 2 dV =VV∫∫∫= (2 gradφ · gradϕ + (gradϕ) 2 )dV =V∫∫∫∫∫ ∫∫∫= 2 ○ ϕgradφdS − 2 ϕ∇ 2 φdV + (gradϕ) 2 dV =SVV∫∫∫= 0 + (gradϕ) 2 dV ≥ 0V136. 136∇ 2 φ = 0e z · gradφ = 0∇ 2 lnρ = 0gradlnρ = 1 ρ e ρ∫∫∫0 ==∫∫S∫∫−ε≤ρ≤R−h≤z≤h(φ 1 ρ − ∂φρ=ε−h≤z≤hemedan integranden = 0 på ytorna z = ±h.∫ 2π(φ∇ 2 lnρ − lnρ∇ 2 φ)dV =)∂ρ lnρ dS −(φ 1 ρ − ∂φ )∂ρ lnρ ρ dϕdz∫ 2π∂φ2h φ(ε, ϕ)dϕ − 2hε lnε00 ∂ρ dϕ == 1 ∫∫ ∫∫∂φφdS − lnRR SS ∂ρ dS == 1 ∫∫ ∫∫∫φdS − lnR ∇ 2 φdVRSV