Exempelsamling Vektoranalys

75b)∫∫○= 4πq + 0 = 4πqc)∫∫○= 0 + 0 = 0123. 123 Vi låter z-axeln vara parallell med e samt inför sfäriska koordinater:A = sin2 θr 2 e rFältet är källfritt för r ≠ 0 ty( )1 ∂divA =r 2 r 2 sin θ sin2 θsin θ ∂r r 2 = 0Flödet ut genom S är lika stort som flödet ut genom en sfär S ε med radien ε ochmedelpunkten i origo.∫∫ ∫∫sin 2 θ○ A · dS = ○S εε 2 e r · dS = {dS = e r ε 2 sin θ dθ dϕ} =S=∫ π0sin 3 θ dθ∫ 2π0dϕ = 8 3 π124. 124 Inför cylinderkoordinaterA = (2xz, 2yz, −x 2 − y 2 ) = 2ρze ρ − ρ 2 e zFältlinjernas differentialekvationer blir:dρ2ρz = −dz ρ 2 , dϕ = 0med lösningen:⎧⎨⎩ρ 2 = −2z 2 + aϕ = bFör fältlinjen genom (1, 1, 1) (ρ = √ 2, ϕ = π/4, z = 1) gäller att a = 4 ochb = π/4.Dess skärningspunkter med planet x + y = 1:ρ = 1 √2, ϕ = π 4 , z = ± √72