Exempelsamling Vektoranalys

73114. 114 Den första termen representerar flödet från en punktsänka, som befinner sigi området. Den ger bidraget −4πq. Den andra termen bidrar med∫ 2c−2c12pz 2 4πc 2 dz = 256πpc 5115. 115 Den första termen är en punktsänka i punkten (3, −1, 0), vars avstånd frånsfärens medelpunkt är√(3 − 2)2 + (−1 − 1) 2 + (0 − 1) 2 = √ 6 < 3Punktsänkan ligger således inuti sfären och ger bidraget −4π. Gauss’ sats gerbidraget från den andra termen:∫∫∫6xy dVVDenna integral beräknas i koordinatsystemet K ′ vars origo ligger i sfärens medelpunkt:∫∫∫Alltså: Flödet = 428π.Vx ′ = x − 2, y ′ = y − 1 z ′ = z − 16(x ′ + 2)(y ′ + 1)dV = 12V = 12 4 3 π33 = 432π116. 116 divA = 0. Fältet är singulärt i origo. Flödet genom en godtycklig yta sominnesluter origo = flödet genom en sfär med radien ε == 1 ε 4 ∫∫(3 cos 2 θ − 1)ε 2 sin θ dθ dϕ = 0117. 117a) Fältet är en superposition av en linjekälla och en punktsänka. Flödet =2π2 − 4π = 0.b)A · ˆn ==( 1ρ e ρ −) ( )1(ρ 2 + z 2 ) (ρe ρe ρ + ze z3/2 ρ + ze z ) · √ =ρ2 + z 21√ρ2 + z − 12 ρ 2 + z 2 = 0 då ρ2 + z 2 = 1118. 118