Exempelsamling Vektoranalys

72111. 111 − 4 cosθr 4 e r112. 112∇ 2 e θ = graddive θ − rotrote θ1 ∂dive θ =r 2 sinθ ∂θ (r sin θ) = 1 cosθ( )r sinθ1 cosθgrad = ∂ ( ) 1 cosθe r + 1 ( )∂ 1 cosθe θ =r sinθ ∂r r sinθ r ∂θ r sin θ= − 1 cosθr 2 sin θ e r − 1 1r 2 sin 2 θ e θe r re θ r sin θ e ϕ1rote θ =∂ ∂ ∂r 2 sinθ∂r ∂θ ∂ϕ= 1 r e ϕ∣ 0 r 0 ∣e r re θ r sin θ e ϕ)1rot(r e 1∂ ∂ ∂ϕ =r 2 = 1 cosθsinθ∂r ∂θ ∂ϕr ∣ 0 0 r sin θ 1 2 sinθ e r∣rAlltså:∇ 2 e θ = − 2 r 2 cosθsin θ e r − 1 r 2 1sin 2 θ e θ113. 113a) divA = 0 i sfären. Detta borde ge∫∫∫divAdV = 0medan ytintegralen∫∫○S∫∫A · dS = 1/R 2 ○ dS = 4πSb)∫∫ ∫∫ ∫∫○ A · dS = ○ A · dS + ○ A · dSS 1+S 2 S 1 S 2där den yttre sfären har utåtriktad normal medan den inre sfären harinnåtriktad normal. Detta ger nettoresultatet 4π − 4π = 0.c) Ytan S får inte omsluta fältets singularitet i origo.