Exempelsamling Vektoranalys

70a) rotF = 0b)divF = cos3θr 4 sin θc) Ja, eftersom rotF = 0. gradψ = F ger⎧∂ψ⎪⎨∂r = − 1 r 3 sin2θvilket ger⎪⎩1 ∂ψr ∂θ = 1 r 3 cos2θψ = 1 sin 2θ2 r 2 + C105. 105gerrot(A ϕ e ϕ ) = 1r sinθOm (2) sätts in i (1) fåsdvs.ger A ϕ oberoende av ϕ, dvs.∂∂θ (A ϕ sin θ)e r − 1 r∂∂r (rA ϕ)e θ = e rr 21 ∂sin θ ∂θ (A ϕ sinθ) = 1 r(1)rA ϕ = F(θ, ϕ) (2)∂(F sin θ) = sin θ∂θF sin θ = − cosθ + G(ϕ)div(A ϕ e ϕ ) =1 ∂r 2 sin θ ∂ϕ (rA ϕ) = 0G(ϕ) = konst.Alltså:A = C − cosθr sin θ e ϕvilket ej är definierat på z-axeln.106. 106 Eftersom rotationen av vektorfältet ≡ 0, och området är enkelt sammanhängande,existerar en potential φ. Man finnerφ = lnr + ϕ + Cdär man måste välja variationsområdet för ϕ så att −π ≤ ϕ ≤ π för att potentialenska bli kontinuerlig.Linjeintegralen == ∇ 2 φ = ln 3 − π