Exempelsamling Vektoranalys

69101. 101gradp = 2r sin θ cosϕe r + r cosθ cosϕe θ − r sin ϕe ϕ(gradp) P = 2 √ 2e r − √ 2e ϕRiktningsderivatan i den givna riktningen ärdpds( ) dpdsmaxom riktningen är ‖ gradp.= (2 √ 2e r − √ 2e ϕ ) ·= | gradp| = √ 101√2(e r + e ϕ ) = 1102. 102i riktningen −4e r − e θ .(∇T) PdTds( ) dTdsmax= − 1 2 e r − 1 8 e θ= (∇T) P · er + e ϕ√2= − 12 √ 2= |(∇T) P | = 1 8√17103. 103dvs.(4) insatt i (2) ger:gradφ = A∂φ∂r = 3 cos2 θ − 1r 4 (1)1 ∂φr ∂θ = sin2θr 4 (2)1 ∂φr sinθ ∂ϕ = 0 (3)(3) ⇒ φ = φ(r, θ)(1) ⇒ φ = − 3 cos2 θ − 13r 3 + F(θ) (4)6 cosθ sin θ3r 4∫ QP+ 1 r F ′ (θ) = sin2θr 4 ⇒ F(θ) = CA · dr = φ(Q) − φ(P) = 1 81 − (− 1 6)= 29162104. 104