Exempelsamling Vektoranalys

68b)c)∇ × A ==1r 2 sinθ1r 2 sinθe r re θ r sinθ e ϕ∂ ∂ ∂=∂r ∂θ ∂ϕsin 2 θ∣ 0 0 ∣r(2 sinθ cosθ sin 2 )θe r + re θr r 2 == 2 cosθr 3 e r + sin θr 3 e θ = ∇ψ∇ · ∇ψ = ∇ · (∇ × A) = 0∇ × (∇ × A) = ∇ × (∇ψ) = 099. 99a) ∇ 2 A = graddivA − rotrotAb) Man erhåller rote r = 0 och dive r = 2/r.graddive r = − 2 r 2e r ⇒ ∇ 2 e r = − 2 r 2e rc) Man finner attVidare ärdive ϕ = 0rote ϕ = 1 r cotθ e r − 1 r e θrotrote ϕ = − 1 dr 2e ϕdθ (cotθ) = 1r 2 sin 2 θ e ϕ⇒ ∇ 2 1e ϕ = −r 2 sin 2 θ e ϕ100. 100n P= gradr(3 + cosθ) = (3 + cosθ)e r + 1 r r(− sin θ)e θr P= re rcosα = n P · r P|n P ||r P | = 3 + cosθ√(3 + cosθ) 2 + sin 2 θα= arccos3 + cosθ√10 + 6 cosθ