Exempelsamling Vektoranalys
Exempelsamling Vektoranalys Exempelsamling Vektoranalys
67som gerdär F är en godtycklig funktion.A ρ = ωρz + F(ρ)96. 96a)divB = Iµ 02πrotA = − 1 ρ( )1 ∂ 1= 0ρ ∂ϕ ρ⇒ A z (ρ) = − Iµ 02π lnρ + C∂A z (ρ)ρe ϕ = B = Iµ 0 e ϕ∂ρ 2π ρb) rotB = 0 visas enkelt.Betrakta en cirkel, Γ, som är koncentrisk med cylindern och som har radienR 1 > R.∮ΓB · dr = {dr = R 1 dϕe ϕ på Γ} = Iµ 02π∫ 2π0R 1 dϕR 1= Iµ 0 ≠ 0(Det område som Γ omsluter är inte enkelt sammanhängande.)97. 97 ⎧⎪ ⎨⎪ ⎩∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇ 2 A∇ · e ϕ = 0ger∇ × e ϕ = 1 ρ e z∇ ×( 1ρ e z)= e ϕρ 2∇ 2 e ϕ = − e ϕρ 298. 98a)∂ψ∇ψ = e r∂r + e 1 ∂ψθr ∂θ = 2 cosθr 3 e r + sinθr 3 e θ
68b)c)∇ × A ==1r 2 sinθ1r 2 sinθe r re θ r sinθ e ϕ∂ ∂ ∂=∂r ∂θ ∂ϕsin 2 θ∣ 0 0 ∣r(2 sinθ cosθ sin 2 )θe r + re θr r 2 == 2 cosθr 3 e r + sin θr 3 e θ = ∇ψ∇ · ∇ψ = ∇ · (∇ × A) = 0∇ × (∇ × A) = ∇ × (∇ψ) = 099. 99a) ∇ 2 A = graddivA − rotrotAb) Man erhåller rote r = 0 och dive r = 2/r.graddive r = − 2 r 2e r ⇒ ∇ 2 e r = − 2 r 2e rc) Man finner attVidare ärdive ϕ = 0rote ϕ = 1 r cotθ e r − 1 r e θrotrote ϕ = − 1 dr 2e ϕdθ (cotθ) = 1r 2 sin 2 θ e ϕ⇒ ∇ 2 1e ϕ = −r 2 sin 2 θ e ϕ100. 100n P= gradr(3 + cosθ) = (3 + cosθ)e r + 1 r r(− sin θ)e θr P= re rcosα = n P · r P|n P ||r P | = 3 + cosθ√(3 + cosθ) 2 + sin 2 θα= arccos3 + cosθ√10 + 6 cosθ
- Page 17 and 18: 1678. 78 Beräkna integralendär S
- Page 19 and 20: 18längs S:s slutna randkurva C. ˆ
- Page 21 and 22: 2093. 93 Vektorfältetsatisfierar e
- Page 23 and 24: 22102. 102 Temperaturfördelningen
- Page 25 and 26: 24110. 110 Låt a vara en konstant
- Page 27 and 28: 26Vilket svar hade man fått om fä
- Page 29 and 30: 28Kontinuitetsekvationen, Greens sa
- Page 31 and 32: 30Den specifika värmeledningsförm
- Page 33 and 34: 32d) Ställ upp gradienten i parabo
- Page 35 and 36: 34a) Transformera Laplaces ekvation
- Page 37 and 38: 36d)e)∂ 2 A ij∂x i ∂x k∫∫
- Page 39 and 40: 38167. 167 En tensor har i det kart
- Page 41 and 42: 40b) och sedan på ett stationärt
- Page 43 and 44: 42a) rotA.b) (B · ∇)A.c) (A ·
- Page 45 and 46: 44189. 189 Använd Stokes’ sats f
- Page 47 and 48: 46198. 198 Vektorfältet A har kont
- Page 49 and 50: 48Svar och lösningsanvisningar1. 1
- Page 51 and 52: 5020. 20 Betrakta nivåytan φ = x
- Page 53 and 54: 52e) 12π/534. 34 4πR 335. 35 3233
- Page 55 and 56: 5450. 50 Låt S ∗ vara en cirkel
- Page 57 and 58: 5661. 61 Eftersom rotA = (1, 1, 1),
- Page 59 and 60: 58h) alt. II:tyochh) alt. III:rot((
- Page 61 and 62: 6072. 7212 ○ ∫∫SdS × (a × r
- Page 63 and 64: 6283. 83a) På C ärr = a(cosϕ, si
- Page 65 and 66: 6487. 87 Linjeintegralens i:e kompo
- Page 67: 66(4, 5) → (3) ger slutligen:dvs.
- Page 71 and 72: 70a) rotF = 0b)divF = cos3θr 4 sin
- Page 73 and 74: 72111. 111 − 4 cosθr 4 e r112. 1
- Page 75 and 76: 74a)b)∫∫1○S r e r · ˆn dS =
- Page 77 and 78: 76125. 125 Differentialekvationerna
- Page 79 and 80: 78Då ε → 0 blir4πhφ(0, −) =
- Page 81 and 82: 80139. 139 Integralen ==∮C 1∮
- Page 83 and 84: 82d)e)f)gradφ =(1 ∂φ√u2 + v 2
- Page 85 and 86: a) Ur ⎧⎪ ⎨⎪ ⎩ξ 2 = ρ
- Page 87 and 88: 86148. 148r = (r cosϕsin θ, r sin
- Page 89 and 90: 88b) δ ij ε ijk = ε iik = 0c)ε
- Page 91 and 92: 90161. 161∮− φA · drC162. 162
- Page 93 and 94: 92172. 172∫∫∫(A div A − A
- Page 95 and 96: 94177. 177∇ · (ω × r) = r · (
- Page 97 and 98: 96184. 184 ∫∫∫∫(∇φ ×
- Page 99 and 100: 98Här har vi utnyttjat att∇φ
- Page 101 and 102: 100a)∫∫e ϕ × ˆndS =S∫∫=
- Page 103 and 104: 102b)∇ 2 ∇ 2 u =∇ 2 u =u =1 (
67som gerdär F är en godtycklig funktion.A ρ = ωρz + F(ρ)96. 96a)divB = Iµ 02πrotA = − 1 ρ( )1 ∂ 1= 0ρ ∂ϕ ρ⇒ A z (ρ) = − Iµ 02π lnρ + C∂A z (ρ)ρe ϕ = B = Iµ 0 e ϕ∂ρ 2π ρb) rotB = 0 visas enkelt.Betrakta en cirkel, Γ, som är koncentrisk med cylindern och som har radienR 1 > R.∮ΓB · dr = {dr = R 1 dϕe ϕ på Γ} = Iµ 02π∫ 2π0R 1 dϕR 1= Iµ 0 ≠ 0(Det område som Γ omsluter är inte enkelt sammanhängande.)97. 97 ⎧⎪ ⎨⎪ ⎩∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇ 2 A∇ · e ϕ = 0ger∇ × e ϕ = 1 ρ e z∇ ×( 1ρ e z)= e ϕρ 2∇ 2 e ϕ = − e ϕρ 298. 98a)∂ψ∇ψ = e r∂r + e 1 ∂ψθr ∂θ = 2 cosθr 3 e r + sinθr 3 e θ
Change language