Exempelsamling Vektoranalys
Exempelsamling Vektoranalys Exempelsamling Vektoranalys
6589. 89grad(ρ − cosϕ)grad(z − ρ sinϕ)sinϕ= e ρ + e ϕρ= − sin ϕe ρ − cosϕe ϕ + e zI den givna punkten:±ˆn 1 = 1 √2(e ρ + e ϕ )±ˆn 2= − 1 2 (e ρ + e ϕ ) + e z√2|ˆn 1 · ˆn 2 | = cosα = 1 √2⇒ α = π 490. 90∇T = 2ρe ρ − 2 ρ z2 sin ϕcosϕe ϕ + 2z cos 2 ϕe z(∇T) P = 4e ρ − 1 2 e ϕ + e zdTds( ) dTdsmax= (∇T) P · eρ − 2e ϕ√ = √ 5 5√69= |(∇T) P | = i riktn. (∇T) P291. 91 div gradφ ≡ 0, dvs. flödet = 0 om ytan ej skär z-axeln där fältet är singulärt.92. 92 Potentialen φ bestäms av ekvationssystemet∂φ∂ρ = z2 sin 2 ϕ (1)(1) har lösningen(4) → (2) ger:som har lösningen1 ∂φρ ∂ϕ = z2 sin 2ϕ − z sinϕ (2)ρ∂φ∂z = cosϕ + 2ρz sin2 ϕ (3)φ = ρz 2 sin 2 ϕ + F(ϕ, z) (4)∂F∂ϕ= −z sin ϕF = z cosϕ + G(z) (5)
66(4, 5) → (3) ger slutligen:dvs.∫ QPG = CdGdz = 0(konst.)φ(ρ, ϕ, z) = ρz 2 sin 2 ϕ + z cosϕ + CA · dr = φ(5, π 2 , −1) − φ(1, π √19 3, 1) =6 4 − 293. 93ger∇ 2 A = graddivA − rotrotA =( ) 1 ∂= grad0 − rotρ ∂ρ (ρf)e z == d ( ) 1 ddρ ρ dρ (ρf) e ϕ = 01 dρ dρ (ρf) =aρf = aρ22 + bf = a 2 ρ + b ρ94. 94 rotA ≡ 0, dvs. cirkulationen = 0 för alla kurvor som ej omkretsar z-axeln,där fältet är singulärt.95. 95a) v = ω × r = ωρe ϕb)c)medför att v har en vektorpotential.divv = 1 ∂ρ ∂ϕ (ωρ) = 0kräverrotA = ∂A ρ∂z e ϕ − 1 ∂A ρρ ∂ϕ e z = ωρe ϕ⎧⎪ ⎨⎪ ⎩∂A ρ∂z = ωρ∂A ρ∂ϕ = 0
- Page 15 and 16: 1466. 66 Låt φ vara ett skalärf
- Page 17 and 18: 1678. 78 Beräkna integralendär S
- Page 19 and 20: 18längs S:s slutna randkurva C. ˆ
- Page 21 and 22: 2093. 93 Vektorfältetsatisfierar e
- Page 23 and 24: 22102. 102 Temperaturfördelningen
- Page 25 and 26: 24110. 110 Låt a vara en konstant
- Page 27 and 28: 26Vilket svar hade man fått om fä
- Page 29 and 30: 28Kontinuitetsekvationen, Greens sa
- Page 31 and 32: 30Den specifika värmeledningsförm
- Page 33 and 34: 32d) Ställ upp gradienten i parabo
- Page 35 and 36: 34a) Transformera Laplaces ekvation
- Page 37 and 38: 36d)e)∂ 2 A ij∂x i ∂x k∫∫
- Page 39 and 40: 38167. 167 En tensor har i det kart
- Page 41 and 42: 40b) och sedan på ett stationärt
- Page 43 and 44: 42a) rotA.b) (B · ∇)A.c) (A ·
- Page 45 and 46: 44189. 189 Använd Stokes’ sats f
- Page 47 and 48: 46198. 198 Vektorfältet A har kont
- Page 49 and 50: 48Svar och lösningsanvisningar1. 1
- Page 51 and 52: 5020. 20 Betrakta nivåytan φ = x
- Page 53 and 54: 52e) 12π/534. 34 4πR 335. 35 3233
- Page 55 and 56: 5450. 50 Låt S ∗ vara en cirkel
- Page 57 and 58: 5661. 61 Eftersom rotA = (1, 1, 1),
- Page 59 and 60: 58h) alt. II:tyochh) alt. III:rot((
- Page 61 and 62: 6072. 7212 ○ ∫∫SdS × (a × r
- Page 63 and 64: 6283. 83a) På C ärr = a(cosϕ, si
- Page 65: 6487. 87 Linjeintegralens i:e kompo
- Page 69 and 70: 68b)c)∇ × A ==1r 2 sinθ1r 2 sin
- Page 71 and 72: 70a) rotF = 0b)divF = cos3θr 4 sin
- Page 73 and 74: 72111. 111 − 4 cosθr 4 e r112. 1
- Page 75 and 76: 74a)b)∫∫1○S r e r · ˆn dS =
- Page 77 and 78: 76125. 125 Differentialekvationerna
- Page 79 and 80: 78Då ε → 0 blir4πhφ(0, −) =
- Page 81 and 82: 80139. 139 Integralen ==∮C 1∮
- Page 83 and 84: 82d)e)f)gradφ =(1 ∂φ√u2 + v 2
- Page 85 and 86: a) Ur ⎧⎪ ⎨⎪ ⎩ξ 2 = ρ
- Page 87 and 88: 86148. 148r = (r cosϕsin θ, r sin
- Page 89 and 90: 88b) δ ij ε ijk = ε iik = 0c)ε
- Page 91 and 92: 90161. 161∮− φA · drC162. 162
- Page 93 and 94: 92172. 172∫∫∫(A div A − A
- Page 95 and 96: 94177. 177∇ · (ω × r) = r · (
- Page 97 and 98: 96184. 184 ∫∫∫∫(∇φ ×
- Page 99 and 100: 98Här har vi utnyttjat att∇φ
- Page 101 and 102: 100a)∫∫e ϕ × ˆndS =S∫∫=
- Page 103 and 104: 102b)∇ 2 ∇ 2 u =∇ 2 u =u =1 (
6589. 89grad(ρ − cosϕ)grad(z − ρ sinϕ)sinϕ= e ρ + e ϕρ= − sin ϕe ρ − cosϕe ϕ + e zI den givna punkten:±ˆn 1 = 1 √2(e ρ + e ϕ )±ˆn 2= − 1 2 (e ρ + e ϕ ) + e z√2|ˆn 1 · ˆn 2 | = cosα = 1 √2⇒ α = π 490. 90∇T = 2ρe ρ − 2 ρ z2 sin ϕcosϕe ϕ + 2z cos 2 ϕe z(∇T) P = 4e ρ − 1 2 e ϕ + e zdTds( ) dTdsmax= (∇T) P · eρ − 2e ϕ√ = √ 5 5√69= |(∇T) P | = i riktn. (∇T) P291. 91 div gradφ ≡ 0, dvs. flödet = 0 om ytan ej skär z-axeln där fältet är singulärt.92. 92 Potentialen φ bestäms av ekvationssystemet∂φ∂ρ = z2 sin 2 ϕ (1)(1) har lösningen(4) → (2) ger:som har lösningen1 ∂φρ ∂ϕ = z2 sin 2ϕ − z sinϕ (2)ρ∂φ∂z = cosϕ + 2ρz sin2 ϕ (3)φ = ρz 2 sin 2 ϕ + F(ϕ, z) (4)∂F∂ϕ= −z sin ϕF = z cosϕ + G(z) (5)
Change language