Exempelsamling Vektoranalys

6487. 87 Linjeintegralens i:e komponent =∮= e i · ∇ 1 ∮C r × dr = (e i × ∇ 1C r ) · dr =∫∫= ∇ × (e i × ∇ 1 ) · ˆn dSrIntegranden kan skrivas−(e i · ∇)∇ 1 r + e i∇ · ∇ 1 rYtintegralen blir följaktligen∫∫e i ·SS=∂ r∂x i r 3 + 0 = e ir 3 − r 3 x ir 4 r == e ir 3 − 3(e i · r)rr 5( ) ˆn− (r · ˆn)3rr3 r 5 dSAlltså är linjeintegralen och ytintegralen lika omψ = φ = 1 r 388. 88 Låt S ′ vara en cirkelskiva parallell med xy-planet med radie 1 och centrum i(0, 0, 1) och med normalen e z .∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫φdS = ∇φdV = (2z 2 + y, x, 4xz + 3z 2 )dVS+S ′ VVVolymsintegralerna över x, y och xz är = 0 av symmetriskäl. Som integrationselementi de återstående integralerna används en cirkelskiva som utskärs av detvå plan ortogonala mot z-axeln på avstånden z resp. z + dz från xy-planet.Cirkelskivans volym är πz 2 dz och vi finner∫∫∫Ytintegralen över S ′ blir∫∫Vz 2 dV =∫ 10πz 4 dz = π 5S ′ (2x + xy + 1)e z dS = πe zDen sökta integralen blir följaktligen∫∫φdS = π 5 (2, 0, 3) − π(0, 0, 1) = 2π (1, 0, −1)5S