Exempelsamling Vektoranalys

6283. 83a) På C ärr = a(cosϕ, sin ϕ, 1 + cosϕ)dr = a(− sin ϕ, cosϕ, − sinϕ)dϕ∮r × dr =C= a 2 (−∫ 2π0= a 2 (−2π, 0, 2π)(1 + cosϕ)dϕ, −∫ 2π0sinϕdϕ,∫ 2π0)dϕ =b)ger∮C∮C∫∫r × dr =∫∫dr × r = (dS × ∇) × rSS∫∫[(∇ · r)dS − ∇(r · dS)] = 2 dSSProjektionen av S i xy-planet är en cirkel med radie a. Så även i yz-planet,medan projektionen i xz-planet är en rät linje.∫∫⇒ 2 dS = (−2πa 2 , 0, 2πa 2 )S84. 84rot(ψ gradφ) = gradψ × gradφ + ψ rotgradφ == − gradφ × gradψIntegrera båda leden över V :∫∫∫∫∫∫gradφ × gradψ dV = − rot(ψ gradφ)dV =V∫∫V= − ○ ˆn × (ψ gradφ)dS =S∫∫= −ψ 0 ○ ˆn × gradφdS =S∫∫∫= −ψ 0 rotgradφdV = 0Ovanstående operationer är tillåtna om ψ har kontinuerliga förstaderivator ochφ har kontinuerliga andraderivator i V . ψ och φ ska vara kontinuerliga i V ∪ S.V