Exempelsamling Vektoranalys

6177. 77 ∮ ∫∫(a · r)dr =CSdS × grad(a · r)} {{ }=a∫∫= −a ×dSS} {{ }±(b/b)π= ±π b × ab78. 78 4π 3(0, 2, −5)79. 79 (−π, 0, 0). Observera att S ej är sluten, varför man måste dra bort bidragenfrån de plana ändytorna då man använder en integralsats.80. 80 i:e komponenten =∫∫∫∫= e i · ○ (A · ˆn)B dS = ○ (e i · B)A · ˆndS =SS∫∫∫∫∫∫= div(B i A)dV = . . . = e i · [(A · ∇)B + B divA]dVVVA och B ska vara kontinuerliga i V ∪ S samt kontinuerligt deriverbara i V .81. 81divA = 7Denna ekvation har partikulärlösningenA p = 7xe xAnsätt den allmänna lösningenA = A p + Rdär R satisfierardivR = 0Alltså: R = rotB där B är ett godtyckligt vektorfält.82. 82 Integrera rot(φA) = . . . där φ → φ, A → gradψ eller φ → ψ, A → gradφ. Idet första fallet erhålls ∮φgradψ · drsom är = 0, eftersomCgradψ · dr = 0I det andra fallet erhålls∮∮− ψ gradφ · dr = −ψ 0 gradφ · dr =CC∫∫= −ψ 0 rotgradφ · dS = 0S