Exempelsamling Vektoranalys
Exempelsamling Vektoranalys Exempelsamling Vektoranalys
5967. 67därA = (∇r k ) × (r × a) + r k ∇ × (r × a)∇r k = kr k−1 e r = kr k−2 r∇ × (r × a) = (a · ∇)r −a(∇ · r) = −2a} {{ } } {{ }a 3⇒ A = kr k−2 r × (r × a) −r k 2a =} {{ }(a·r)r−r 2 a= kr k−2 (a · r)r − (k + 2)r k aA ‖ r⇒ k = −268. 68 069. 69 Enligt Stokes’ sats är∮∫∫a × (b × r) · dr =CS∇ × (a × (b × r)) · ˆn dSdär vi kan välja S så att ˆn ‖ c om C ligger på en nivåyta till φ.∇ × (a × (b × r)) = ∇ × ((a · r)b − (a · b)r) == ∇(a · r) ×b − (a · b) ∇ × r = a × b} {{ } } {{ }=a=0Linjeintegralen är noll om och endast om (a ×b) ·c = 0, dvs. om och endast oma, b och c ligger i samma plan.70. 70∇ × A = k (B 0 · ∇)r} {{ }−kB 0 (∇ · r)} {{ }=B 0 =3Alltså: B 0 = rotA om vi väljer k = −1/2.+ ∇ × ∇ψ = −2kB} {{ } 0=071. 71 v(r) ⊥ ˆn och r.|v(r)| = ωr sinθω, r, v(r) bildar ett högersystem, dvs.v(r) = ω × rrotv = rot(ω × r) = ∇ × (ω × ṛ) == −(ω · ∇)r + ω(∇ · r) = −ω + 3ω = 2ω
6072. 7212 ○ ∫∫SdS × (a × r) = {Gauss’ universalsats} == 1 ∫∫∫∇ × (a × r)dV =2 V= 1 ∫∫∫(a(∇ · r) − (a · ∇)r)dV =2 V= 1 ∫∫∫2adV = aV2V73. 73 Linjeintegralens i:e komponent =∮ ∮= e i · r × dr = (e i × r) · dr =CC∫∫∫∫= rot(e i × r) ·ˆn dS = e i · 2ˆndSS } {{ }S2e i74. 74 Den i:e komponenten av V.L. är =∫∫∫∫∫∫= e i · r × rotAdV = rotA · (e i × r)dV =VV∫∫∫= [div(A × (e i × r)) + A · rot(e i × r)]dV =V∫∫ ∫∫∫∫∫∫= ○ · · · + A · 2e i dV = 0 + e i · 2 A dV == i:e komponenten av H.L.S VV75. 75∫∫∫ ∫∫∫∫∫(∇φ) · B dV = (∇ · (φB) − φ ∇} {{· B})dV = ○ φB · dS =VVS=0∫∫ ∫∫∫= φ 0 ○ B · dS = φ 0 ∇ · B dV = 0SV76. 76 Med hjälp av Gauss’ universalsats erhålls∫∫∫∫∫○ (a × r) × dS = − rot(a × r) dV =SV } {{ }2a∫∫∫= −2a dV = − 8 3 πaV
- Page 9 and 10: 8Beräkning av divergens och rotati
- Page 11 and 12: 1050. 50 Använd Gauss’ sats för
- Page 13 and 14: 1260. 60 Beräkna integralen ∮dä
- Page 15 and 16: 1466. 66 Låt φ vara ett skalärf
- Page 17 and 18: 1678. 78 Beräkna integralendär S
- Page 19 and 20: 18längs S:s slutna randkurva C. ˆ
- Page 21 and 22: 2093. 93 Vektorfältetsatisfierar e
- Page 23 and 24: 22102. 102 Temperaturfördelningen
- Page 25 and 26: 24110. 110 Låt a vara en konstant
- Page 27 and 28: 26Vilket svar hade man fått om fä
- Page 29 and 30: 28Kontinuitetsekvationen, Greens sa
- Page 31 and 32: 30Den specifika värmeledningsförm
- Page 33 and 34: 32d) Ställ upp gradienten i parabo
- Page 35 and 36: 34a) Transformera Laplaces ekvation
- Page 37 and 38: 36d)e)∂ 2 A ij∂x i ∂x k∫∫
- Page 39 and 40: 38167. 167 En tensor har i det kart
- Page 41 and 42: 40b) och sedan på ett stationärt
- Page 43 and 44: 42a) rotA.b) (B · ∇)A.c) (A ·
- Page 45 and 46: 44189. 189 Använd Stokes’ sats f
- Page 47 and 48: 46198. 198 Vektorfältet A har kont
- Page 49 and 50: 48Svar och lösningsanvisningar1. 1
- Page 51 and 52: 5020. 20 Betrakta nivåytan φ = x
- Page 53 and 54: 52e) 12π/534. 34 4πR 335. 35 3233
- Page 55 and 56: 5450. 50 Låt S ∗ vara en cirkel
- Page 57 and 58: 5661. 61 Eftersom rotA = (1, 1, 1),
- Page 59: 58h) alt. II:tyochh) alt. III:rot((
- Page 63 and 64: 6283. 83a) På C ärr = a(cosϕ, si
- Page 65 and 66: 6487. 87 Linjeintegralens i:e kompo
- Page 67 and 68: 66(4, 5) → (3) ger slutligen:dvs.
- Page 69 and 70: 68b)c)∇ × A ==1r 2 sinθ1r 2 sin
- Page 71 and 72: 70a) rotF = 0b)divF = cos3θr 4 sin
- Page 73 and 74: 72111. 111 − 4 cosθr 4 e r112. 1
- Page 75 and 76: 74a)b)∫∫1○S r e r · ˆn dS =
- Page 77 and 78: 76125. 125 Differentialekvationerna
- Page 79 and 80: 78Då ε → 0 blir4πhφ(0, −) =
- Page 81 and 82: 80139. 139 Integralen ==∮C 1∮
- Page 83 and 84: 82d)e)f)gradφ =(1 ∂φ√u2 + v 2
- Page 85 and 86: a) Ur ⎧⎪ ⎨⎪ ⎩ξ 2 = ρ
- Page 87 and 88: 86148. 148r = (r cosϕsin θ, r sin
- Page 89 and 90: 88b) δ ij ε ijk = ε iik = 0c)ε
- Page 91 and 92: 90161. 161∮− φA · drC162. 162
- Page 93 and 94: 92172. 172∫∫∫(A div A − A
- Page 95 and 96: 94177. 177∇ · (ω × r) = r · (
- Page 97 and 98: 96184. 184 ∫∫∫∫(∇φ ×
- Page 99 and 100: 98Här har vi utnyttjat att∇φ
- Page 101 and 102: 100a)∫∫e ϕ × ˆndS =S∫∫=
- Page 103 and 104: 102b)∇ 2 ∇ 2 u =∇ 2 u =u =1 (
6072. 7212 ○ ∫∫SdS × (a × r) = {Gauss’ universalsats} == 1 ∫∫∫∇ × (a × r)dV =2 V= 1 ∫∫∫(a(∇ · r) − (a · ∇)r)dV =2 V= 1 ∫∫∫2adV = aV2V73. 73 Linjeintegralens i:e komponent =∮ ∮= e i · r × dr = (e i × r) · dr =CC∫∫∫∫= rot(e i × r) ·ˆn dS = e i · 2ˆndSS } {{ }S2e i74. 74 Den i:e komponenten av V.L. är =∫∫∫∫∫∫= e i · r × rotAdV = rotA · (e i × r)dV =VV∫∫∫= [div(A × (e i × r)) + A · rot(e i × r)]dV =V∫∫ ∫∫∫∫∫∫= ○ · · · + A · 2e i dV = 0 + e i · 2 A dV == i:e komponenten av H.L.S VV75. 75∫∫∫ ∫∫∫∫∫(∇φ) · B dV = (∇ · (φB) − φ ∇} {{· B})dV = ○ φB · dS =VVS=0∫∫ ∫∫∫= φ 0 ○ B · dS = φ 0 ∇ · B dV = 0SV76. 76 Med hjälp av Gauss’ universalsats erhålls∫∫∫∫∫○ (a × r) × dS = − rot(a × r) dV =SV } {{ }2a∫∫∫= −2a dV = − 8 3 πaV
Change language