Exempelsamling Vektoranalys

5967. 67därA = (∇r k ) × (r × a) + r k ∇ × (r × a)∇r k = kr k−1 e r = kr k−2 r∇ × (r × a) = (a · ∇)r −a(∇ · r) = −2a} {{ } } {{ }a 3⇒ A = kr k−2 r × (r × a) −r k 2a =} {{ }(a·r)r−r 2 a= kr k−2 (a · r)r − (k + 2)r k aA ‖ r⇒ k = −268. 68 069. 69 Enligt Stokes’ sats är∮∫∫a × (b × r) · dr =CS∇ × (a × (b × r)) · ˆn dSdär vi kan välja S så att ˆn ‖ c om C ligger på en nivåyta till φ.∇ × (a × (b × r)) = ∇ × ((a · r)b − (a · b)r) == ∇(a · r) ×b − (a · b) ∇ × r = a × b} {{ } } {{ }=a=0Linjeintegralen är noll om och endast om (a ×b) ·c = 0, dvs. om och endast oma, b och c ligger i samma plan.70. 70∇ × A = k (B 0 · ∇)r} {{ }−kB 0 (∇ · r)} {{ }=B 0 =3Alltså: B 0 = rotA om vi väljer k = −1/2.+ ∇ × ∇ψ = −2kB} {{ } 0=071. 71 v(r) ⊥ ˆn och r.|v(r)| = ωr sinθω, r, v(r) bildar ett högersystem, dvs.v(r) = ω × rrotv = rot(ω × r) = ∇ × (ω × ṛ) == −(ω · ∇)r + ω(∇ · r) = −ω + 3ω = 2ω