Exempelsamling Vektoranalys

5661. 61 Eftersom rotA = (1, 1, 1), ger Stokes’ sats tillämpad på den yta som utgörsav koordinatplanen och begränsas av ellipsoiden:∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫A · dr = dxdy + dy dz + dz dx =S 1 S 2 S 3C= π (ab + bc + ca)462. 62rotA = (x + 4, 2, y − 1 − z)ˆn = − √ 1 (1, 1, 0) 2∮A · dr = − √ 1 ∫∫(x + 6)dS = − √ 6 π · 2 · 2 √ 2 = −24π2 2CS63. 63a) r/r = e rb) 2r 3 (x + y + z) + 3r(x 3 + y 3 + z 3 )c) 3r(yz 2 − zy 2 , zx 2 − xz 2 , xy 2 − yx 2 )d) (2xz + z 2 , 3y 2 , x 2 + 2xz)e) 0f) (x 2 − 2zy − 3z 2 , −2yz − 2xy, −3x 2 − 2xy + z 2 )g) (z 2 , y 2 , x 2 ) (här finns ingen indexräkning att göra!)h) (x 2 − z 2 )(−1, 0, 1)64. 64a)[∇ × (φA)] i = ǫ ijk ∂ j (φA k ) == ǫ ijk (∂ j φ)A k + φǫ ijk (∂ j A k ) == [gradφ × A + φrotA] ib)[∇ × (A × B)] i = ǫ ijk ∂ j (A × B) k == ǫ ijk ǫ klm ∂ j (A l B m ) == (δ il δ jm − δ im δ jl )((∂ j A l )B m + A l (∂ j B m )) == (∂ m A i )B m + A i (∂ m B m ) − (∂ l A l )B i − A j (∂ j B i ) == [(B · ∇)A + A divB − B divA − (A · ∇)B] i