Exempelsamling Vektoranalys

5450. 50 Låt S ∗ vara en cirkel i xz-planet med radie √ 3 och centrum i origo.∫∫ ∫∫∫○ A · dS = (2y + 2x + z + 8z 3 )dVS+S ∗ Vdär endast den första termen i integranden ger ett bidrag ≠ 0. De övriga termernaär antisymmetriska antingen m.a.p. planet x = 0 eller m.a.p planet z = 0,och V är symmetrisk med avseende på båda dessa plan.Som integrationselement väljs en tunn cirkulär skiva med tjockleken dy på avståndety från xz-planet, dvs.dV = π(4 − (y − 1) 2 )dy∫∫(x 2 , 2, 2z 4 ) · (0, −1, 0)dS = −2π( √ 3) 2 = −6πS ∗∫∫S∫∫∫=V∫∫−= 45S 2 ∗π − (−6π) =572 π51. 51∫∫∫∫∫○ (2x + x 3 z)ˆndS = {”Gauss’ sats”} = (2 + 3x 2 z, 0, x 3 )dV =SV∫∫∫= {symmetri i x, z} = (2, 0, 0)dV =V( ) 8π=3 , 0, 052. 52∫∫∫∫∫0 = ○ xA · dS = {Gauss’ sats} = ∇ · (xA)dV =SV∫∫∫∫∫∫= [(∇x) ·A + x ∇V } {{ } } {{· A}]dV = e x · A dVVe x=0Således är x-komponenten av den sökta integralen = 0. På analogt sätt visas attäven y- och z-komponenterna är = 0.53. 53∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫○ A · dS = divAdV = 3(x 2 + y 2 + (z − 1) 2 )dVSVVByt variabler x ′ = x, y ′ = y, z ′ = z − 1, samt inför r ′ = √ x ′2 + y ′2 + z ′2 :∫∫∫3 r ′2 dV = {dV = 4πr ′2 dr ′ } = 12π5r ′ ≤1