Exempelsamling Vektoranalys

53e) 2176π/1545. 45 54π46. 46 4πR 347. 47∫∫SF · dS == 3 2∫∫∫∫∫∫divFdV =V∫ 2π ∫ π ∫ RAv symmetriskäl kan nämligen000∫∫∫V3(x 2 + y 2 + z 2 )dV =r 2 r 2 dr sinθ dθ dϕ = 3 2 4πR5 5 = 6π 5 R5V3r 2 dVöver halvsfären sättas = 1/2 gånger motsvarande integral över hela sfären.48. 48 2 3 π49. 49 S sluten, A kontinuerligt deriverbar, dvs. Gauss’ sats kan användas.divA =∫∫○ A · dS =S3y 2 + 2y − x + 2z∫∫∫(3y 2 + 2y − x + 2z)dVx = 0 symmetriplan till V , −x antisym. m.a.p. planet x = 0z = 0 symmetriplan till V , 2z antisym. m.a.p. planet z = 0∫∫∫⇒ (−x + 2z)dV = 0V har y-axeln till rotationsaxelVV⇒⇒ dV = πr 2 (y)dy = π(y 2 + 2y)dy∫∫ ∫ 4○ A · dS = (3y 2 + 2y)(y 2 + 2y)π dy =S0= 4 4 71π15