Exempelsamling Vektoranalys

46198. 198 Vektorfältet A har kontinuerliga andraderivator. Visa att om A satisfierarekvationenrotA = αA (α ≠ 0),där α är en konstant, så följer därav att A satisfierar ekvationen(∇ 2 + α 2 )A = 0.Utnyttjade operatorformler skall ställas upp med indexräkning.199. 199 Beräkna den allmänna lösning u(x, y, z) till den biharmoniska ekvationen∇ 2 (∇ 2 u) = 0som hara) cylindersymmetri, dvs. u = u( √ x 2 + y 2 ).b) sfärisk symmetri, dvs. u = u( √ x 2 + y 2 + z 2 ).200. 200 Beräkna integralen ∫∫∫VA · B dV.Vektorfältet A är virvelfritt i området V och vektorfältet B har en vektorpotentialsom är ortogonal mot V :s begränsningsyta S.Ledning: Använd formeln div(A × B) = . . ., som skall uppställas med hjälp avindexräkning.201. 201 Beräknaa) med användning av Gauss’ satsb) genom direkt integrationintegralendär∫∫I(R) = ○ ∇φ · dS,Sφ = e−λrroch S är ytan av en sfär med radien R och centrum i origo. Vilka blir värdenaavlimR→∞λ≠0I(R) och lim I(R)λ→0R