Exempelsamling Vektoranalys

44189. 189 Använd Stokes’ sats för att beräkna integralen∮(a × r) × dr,Cdär C är en enhetscirkel som ligger i planet b · r = p. a och b är konstantavektorer och p är en konstant.Utnyttjade operatorformler skall uppställas med indexräkning.190. 190 Visa att omF = − 1 r cotθ e ϕoch φ = φ(ϕ) så gäller för varje yta S som omsluter volymen V att∫∫ ∫∫1○ φF × dS = ○SS r∫∫∫VφdS − 1r ∇φdV.191. 191 Vektorfältet A är homogent av graden n, dvs.a) Visa att (r · ∇)A = nA.Ledning: Derivera (1) m.a.p. λ.b) Beräkna div(r(r · A)).A(λx, λy, λz) = λ n A(x, y, z) (1)192. 192 Visa att ytintegralen∫∫○Se r · ˆnr 3 e r dSkan omformas till en volymsintegral av typen∫∫∫gradφdVVöver det av S omslutna området V , samt beräkna φ. Origo är en yttre punkttill V .Ledning: Använd på lämpliga ställen att e r = r/r.193. 193 Vektorerna Eoch B uppfyllerE = gradφ,B = rotA.Visa att∫∫∫E · B dV = 0om begränsningsytan till V är en ekvipotentialyta till φ.V