Exempelsamling Vektoranalys

41176. 176 Sambandet mellan laddningstätheten ρ(r) och den elektriska fältstyrkan E(r)i ett statiskt elektriskt fält ges avdär ε 0 är en konstant.divE = 1 ε 0ρ(r),Antag att man på ytan S av en sfär med radien a och centrum i origo mätt uppfältstyrkan och funnitE S = ρ 0a 2 ( xsε 0 a 2 , y sb 2 , z )sc 2 (1)I (1) är (x s , y s , z s ) koordinater för punkter på S. Observera att fältstyrkan ipunkter (x, y, z) inuti sfären ej nödvändigtvis ges av (1). Bestäm laddningeninom sfären.177. 177 I en stel kropp, som roterar kring en fix punkt kan hastighetsfältet skrivasv(r) = ω × roch accelerationsfälteta(r) = ˙ω × r + ω × (ω × r).Bestäm divv, rotv, diva och rota. (ω och ˙ω är funktioner endast av tiden.)178. 178 I ett plasma av hög täthet gäller att krafttätheten f kan skrivasf = i × B − gradp,där i är strömtätheten, B magnetfältet och p trycket.Mellan i och B råder relationen rotB = µ 0 i. Vidare gäller divB = 0. Visa attf = 1 )(B · ∇)B − grad(p + B2.µ 0 2µ 0179. 179 Kraften på en enhetsladdning från en dipol med dipolstyrkan p ges av()2 cosθ sin θF = p e rr 3 + e θr 3förutsatt att origo valts i dipolen och z-axeln i dipolmomentets riktning. BestämdivF och rotF för r ≠ 0.Arbetet skall utföras i sfäriska koordinater.180. 180 VektorfältenA = (2x 2 − y 2 , yz + z 2 , xy 2 ),B = (−y, x, 0)är givna. Beräkna