Exempelsamling Vektoranalys
Exempelsamling Vektoranalys Exempelsamling Vektoranalys
39b) Bestäm tensorns egenvärden och egenvektorer.170. 170 KraftenF = ev × Bsom verkar på en laddad partikel i ett magnetfält B utgör en vektorvärd funktionav partikelns hastighet v.a) Visa att man kan associera en tensor av andra ordningen med denna funktion.b) Visa att denna tensor har två imaginära egenvärden och ett egenvärde = 0.Bestäm egenvektorn, som svarar mot det senare.171. 171 I ett område finns elektriska laddningar med laddningstätheten ρ(r). Denelektriska kraften på volymselementet dV ärρ(r)E(r)dV,där E(r) är den elektriska fältstyrkan. Det gäller att⎧⎨⎩där φ är den elektriska potentialen.divE = 1 ε 0ρE = − gradφVisa att totala kraften på en delvolym V kan skrivas∫∫F = e i ○ T ik n k dS,därST ik = D i E k − 1 2 D jE j δ ik .172. 172 Använd tensormetoder för att skriva∫∫∫(A divA − A × rotA)dVsom en ytintegral över den yta S som omsluter V .användas dels påVResultatet skall sedana) ett stationärt elektriskt fält genom att sätta A = E där E lyder⎧⎪⎨ rotE = 0⎪⎩ divE = ρ(r)ε 0
40b) och sedan på ett stationärt magnetiskt fält genom att sätta A = B där Blyder⎧⎨ divB = 0,⎩ rotB = µ 0 i(r)med ρ som laddningstätheten och i som strömtätheten.Blandade vektortal173. 173 Den potentiella energin mellan två dipoler med dipolmomenten m 1 och m 2på avståndet r kan skrivas:φ = (m 1 · ∇)(m 2 · ∇) 1 r .Utveckla uttrycket så att beroendet av vinklarna mellan vektorerna m 1 , m 2 ochr framgår. Bestäm värdet på φ för det fall attm 1 · e r = 1 2 |m 1|,m 2 · e r = 1 2 |m 2|,m 1 · m 2 = − 1 2 |m 1||m 2 |.174. 174 Vektorpotentialen från en magnetisk dipol ges avA = µ 0 m × r4π r 3 ,där dipolmomentet m är en konstant vektor och r är ortsvektorn. µ 0 är enkonstant. Ur vektorpotentialen beräknas den magnetiska induktionen B enligtBestäm B för r ≠ 0.B = rotA.175. 175 En elektrisk dipol i origo omger sig med potentialfältet2 sinθ cosϕV = −r 2 .a) Hur snabbt ökar potentialen V om man utgående från punktenrör sig i riktningen e r − e ϕ ?P : r = 1, θ = π/4, ϕ = 0b) I vilken riktning utgående från P ökar potentialen snabbast, och hur storär den maximala potentialökningen per längdenhet?
- Page 1 and 2: Exempelsamling VektoranalysTeoretis
- Page 5 and 6: • risk of refusal to grant a righ
- Page 7 and 8: 629. 29 Beräkna linjeintegralen av
- Page 9 and 10: 8Beräkning av divergens och rotati
- Page 11 and 12: 1050. 50 Använd Gauss’ sats för
- Page 13 and 14: 1260. 60 Beräkna integralen ∮dä
- Page 15 and 16: 1466. 66 Låt φ vara ett skalärf
- Page 17 and 18: 1678. 78 Beräkna integralendär S
- Page 19 and 20: 18längs S:s slutna randkurva C. ˆ
- Page 21 and 22: 2093. 93 Vektorfältetsatisfierar e
- Page 23 and 24: 22102. 102 Temperaturfördelningen
- Page 25 and 26: 24110. 110 Låt a vara en konstant
- Page 27 and 28: 26Vilket svar hade man fått om fä
- Page 29 and 30: 28Kontinuitetsekvationen, Greens sa
- Page 31 and 32: 30Den specifika värmeledningsförm
- Page 33 and 34: 32d) Ställ upp gradienten i parabo
- Page 35 and 36: 34a) Transformera Laplaces ekvation
- Page 37 and 38: 36d)e)∂ 2 A ij∂x i ∂x k∫∫
- Page 39: 38167. 167 En tensor har i det kart
- Page 43 and 44: 42a) rotA.b) (B · ∇)A.c) (A ·
- Page 45 and 46: 44189. 189 Använd Stokes’ sats f
- Page 47 and 48: 46198. 198 Vektorfältet A har kont
- Page 49 and 50: 48Svar och lösningsanvisningar1. 1
- Page 51 and 52: 5020. 20 Betrakta nivåytan φ = x
- Page 53 and 54: 52e) 12π/534. 34 4πR 335. 35 3233
- Page 55 and 56: 5450. 50 Låt S ∗ vara en cirkel
- Page 57 and 58: 5661. 61 Eftersom rotA = (1, 1, 1),
- Page 59 and 60: 58h) alt. II:tyochh) alt. III:rot((
- Page 61 and 62: 6072. 7212 ○ ∫∫SdS × (a × r
- Page 63 and 64: 6283. 83a) På C ärr = a(cosϕ, si
- Page 65 and 66: 6487. 87 Linjeintegralens i:e kompo
- Page 67 and 68: 66(4, 5) → (3) ger slutligen:dvs.
- Page 69 and 70: 68b)c)∇ × A ==1r 2 sinθ1r 2 sin
- Page 71 and 72: 70a) rotF = 0b)divF = cos3θr 4 sin
- Page 73 and 74: 72111. 111 − 4 cosθr 4 e r112. 1
- Page 75 and 76: 74a)b)∫∫1○S r e r · ˆn dS =
- Page 77 and 78: 76125. 125 Differentialekvationerna
- Page 79 and 80: 78Då ε → 0 blir4πhφ(0, −) =
- Page 81 and 82: 80139. 139 Integralen ==∮C 1∮
- Page 83 and 84: 82d)e)f)gradφ =(1 ∂φ√u2 + v 2
- Page 85 and 86: a) Ur ⎧⎪ ⎨⎪ ⎩ξ 2 = ρ
- Page 87 and 88: 86148. 148r = (r cosϕsin θ, r sin
- Page 89 and 90: 88b) δ ij ε ijk = ε iik = 0c)ε
40b) och sedan på ett stationärt magnetiskt fält genom att sätta A = B där Blyder⎧⎨ divB = 0,⎩ rotB = µ 0 i(r)med ρ som laddningstätheten och i som strömtätheten.Blandade vektortal173. 173 Den potentiella energin mellan två dipoler med dipolmomenten m 1 och m 2på avståndet r kan skrivas:φ = (m 1 · ∇)(m 2 · ∇) 1 r .Utveckla uttrycket så att beroendet av vinklarna mellan vektorerna m 1 , m 2 ochr framgår. Bestäm värdet på φ för det fall attm 1 · e r = 1 2 |m 1|,m 2 · e r = 1 2 |m 2|,m 1 · m 2 = − 1 2 |m 1||m 2 |.174. 174 Vektorpotentialen från en magnetisk dipol ges avA = µ 0 m × r4π r 3 ,där dipolmomentet m är en konstant vektor och r är ortsvektorn. µ 0 är enkonstant. Ur vektorpotentialen beräknas den magnetiska induktionen B enligtBestäm B för r ≠ 0.B = rotA.175. 175 En elektrisk dipol i origo omger sig med potentialfältet2 sinθ cosϕV = −r 2 .a) Hur snabbt ökar potentialen V om man utgående från punktenrör sig i riktningen e r − e ϕ ?P : r = 1, θ = π/4, ϕ = 0b) I vilken riktning utgående från P ökar potentialen snabbast, och hur storär den maximala potentialökningen per längdenhet?
Change language