Exempelsamling Vektoranalys
Exempelsamling Vektoranalys Exempelsamling Vektoranalys
37162. 162 Omforma ∫∫(gradφ × GradA) · dSStill en lineintegral. Med gradφ × GradA avses(gradφ × GradA) il = ε ijk∂φ∂x j∂A l∂x k.163. 163 Omforma med tensormetoder följande integraler till ytintegraler:∫∫∫a) ∇ × (∇ × A)dVV∫∫∫b) (gradφ × ∇) · A dVV164. 164 Skriv ∫∫∫(B · ∇)A dVVsom en ytintegral om B är ett källfritt fält.165. 165 I Kirchhoffs behandling av diffraktionsfenomen uppträder uttrycket∫∫ ∫∫∫∫○ (dS · ∇)E + ○ dS × (∇ × E) − ○ dS(∇ · E),SSSdär E är ett vektorfält och S en glatt yta. Visa att uttrycket blir noll.166. 166 I en kropp flyter en elektrisk ström med strömtätheten j = j(r). Kraften påvolymselementet dV är dådF = j × B dV,där B är den magnetiska fältstyrkan. För det magnetiska fältet gällerdivB = 0,rotH = j,B = µ 0 H.Skriv kraften på en delvolym V som en ytintegral av formen∫∫e i ○ T ij dS joch bestäm härigenom de kartesiska tensorkomponenterna T ij .S
38167. 167 En tensor har i det kartesiska koordinatsystemet K komponenterna⎛ ⎞1 0 0(T ik ) = ⎜ 1 1 1 ⎟⎝ ⎠ .0 0 1Existerar ett kartesiskt koordinatsystem K ′ så atta)⎛ ⎞λ 1 0 0(T ik ′ ) = ⎜ 0 λ⎝ 2 0 ⎟⎠ ?0 0 λ 3b)⎛(T ik ′ ) = ⎜⎝0 a bc 0 de f 0⎞⎟⎠ ?c)(T ′ik) =⎛⎜⎝a b cb 0 0c 0 0⎞⎟⎠ ?168. 168 Den s.k. centifugalkraftendefinierar en vektorvärd funktion av r.F = −mω × (ω × r)a) Visa att man kan associera denna med en tensor och bestäm tensorns komponenter.b) Bestäm tensorns egenvärden och egenvektorer.169. 169 Potentiella energin hos ett system bestående av två små stavmagneter medmagnetiska momenten m 1 och m 2 placerade på avståndet r från varandra kanskrivasφ = (m 1 · ∇)(m 2 · ∇) 1 r .a) Visa att man kan definiera en tensor vars kartesiska komponenter M ij uppfyllerekvationenφ = M ij m 1i m 2j .
- Page 1 and 2: Exempelsamling VektoranalysTeoretis
- Page 5 and 6: • risk of refusal to grant a righ
- Page 7 and 8: 629. 29 Beräkna linjeintegralen av
- Page 9 and 10: 8Beräkning av divergens och rotati
- Page 11 and 12: 1050. 50 Använd Gauss’ sats för
- Page 13 and 14: 1260. 60 Beräkna integralen ∮dä
- Page 15 and 16: 1466. 66 Låt φ vara ett skalärf
- Page 17 and 18: 1678. 78 Beräkna integralendär S
- Page 19 and 20: 18längs S:s slutna randkurva C. ˆ
- Page 21 and 22: 2093. 93 Vektorfältetsatisfierar e
- Page 23 and 24: 22102. 102 Temperaturfördelningen
- Page 25 and 26: 24110. 110 Låt a vara en konstant
- Page 27 and 28: 26Vilket svar hade man fått om fä
- Page 29 and 30: 28Kontinuitetsekvationen, Greens sa
- Page 31 and 32: 30Den specifika värmeledningsförm
- Page 33 and 34: 32d) Ställ upp gradienten i parabo
- Page 35 and 36: 34a) Transformera Laplaces ekvation
- Page 37: 36d)e)∂ 2 A ij∂x i ∂x k∫∫
- Page 41 and 42: 40b) och sedan på ett stationärt
- Page 43 and 44: 42a) rotA.b) (B · ∇)A.c) (A ·
- Page 45 and 46: 44189. 189 Använd Stokes’ sats f
- Page 47 and 48: 46198. 198 Vektorfältet A har kont
- Page 49 and 50: 48Svar och lösningsanvisningar1. 1
- Page 51 and 52: 5020. 20 Betrakta nivåytan φ = x
- Page 53 and 54: 52e) 12π/534. 34 4πR 335. 35 3233
- Page 55 and 56: 5450. 50 Låt S ∗ vara en cirkel
- Page 57 and 58: 5661. 61 Eftersom rotA = (1, 1, 1),
- Page 59 and 60: 58h) alt. II:tyochh) alt. III:rot((
- Page 61 and 62: 6072. 7212 ○ ∫∫SdS × (a × r
- Page 63 and 64: 6283. 83a) På C ärr = a(cosϕ, si
- Page 65 and 66: 6487. 87 Linjeintegralens i:e kompo
- Page 67 and 68: 66(4, 5) → (3) ger slutligen:dvs.
- Page 69 and 70: 68b)c)∇ × A ==1r 2 sinθ1r 2 sin
- Page 71 and 72: 70a) rotF = 0b)divF = cos3θr 4 sin
- Page 73 and 74: 72111. 111 − 4 cosθr 4 e r112. 1
- Page 75 and 76: 74a)b)∫∫1○S r e r · ˆn dS =
- Page 77 and 78: 76125. 125 Differentialekvationerna
- Page 79 and 80: 78Då ε → 0 blir4πhφ(0, −) =
- Page 81 and 82: 80139. 139 Integralen ==∮C 1∮
- Page 83 and 84: 82d)e)f)gradφ =(1 ∂φ√u2 + v 2
- Page 85 and 86: a) Ur ⎧⎪ ⎨⎪ ⎩ξ 2 = ρ
- Page 87 and 88: 86148. 148r = (r cosϕsin θ, r sin
38167. 167 En tensor har i det kartesiska koordinatsystemet K komponenterna⎛ ⎞1 0 0(T ik ) = ⎜ 1 1 1 ⎟⎝ ⎠ .0 0 1Existerar ett kartesiskt koordinatsystem K ′ så atta)⎛ ⎞λ 1 0 0(T ik ′ ) = ⎜ 0 λ⎝ 2 0 ⎟⎠ ?0 0 λ 3b)⎛(T ik ′ ) = ⎜⎝0 a bc 0 de f 0⎞⎟⎠ ?c)(T ′ik) =⎛⎜⎝a b cb 0 0c 0 0⎞⎟⎠ ?168. 168 Den s.k. centifugalkraftendefinierar en vektorvärd funktion av r.F = −mω × (ω × r)a) Visa att man kan associera denna med en tensor och bestäm tensorns komponenter.b) Bestäm tensorns egenvärden och egenvektorer.169. 169 Potentiella energin hos ett system bestående av två små stavmagneter medmagnetiska momenten m 1 och m 2 placerade på avståndet r från varandra kanskrivasφ = (m 1 · ∇)(m 2 · ∇) 1 r .a) Visa att man kan definiera en tensor vars kartesiska komponenter M ij uppfyllerekvationenφ = M ij m 1i m 2j .
Change language