Exempelsamling Vektoranalys

37162. 162 Omforma ∫∫(gradφ × GradA) · dSStill en lineintegral. Med gradφ × GradA avses(gradφ × GradA) il = ε ijk∂φ∂x j∂A l∂x k.163. 163 Omforma med tensormetoder följande integraler till ytintegraler:∫∫∫a) ∇ × (∇ × A)dVV∫∫∫b) (gradφ × ∇) · A dVV164. 164 Skriv ∫∫∫(B · ∇)A dVVsom en ytintegral om B är ett källfritt fält.165. 165 I Kirchhoffs behandling av diffraktionsfenomen uppträder uttrycket∫∫ ∫∫∫∫○ (dS · ∇)E + ○ dS × (∇ × E) − ○ dS(∇ · E),SSSdär E är ett vektorfält och S en glatt yta. Visa att uttrycket blir noll.166. 166 I en kropp flyter en elektrisk ström med strömtätheten j = j(r). Kraften påvolymselementet dV är dådF = j × B dV,där B är den magnetiska fältstyrkan. För det magnetiska fältet gällerdivB = 0,rotH = j,B = µ 0 H.Skriv kraften på en delvolym V som en ytintegral av formen∫∫e i ○ T ij dS joch bestäm härigenom de kartesiska tensorkomponenterna T ij .S