Exempelsamling Vektoranalys
Exempelsamling Vektoranalys Exempelsamling Vektoranalys
35152. 152 En tensor har komponenterna A 11 = 1, A ik = 0 om i ≠ 1 eller k ≠ 1,relativt det kartesiska koordinatsystemet K. Ange tensorns komponenter relativtkoordinatsystemet K ′ , som är vridet vinkeln α relativt K kring den med Kgemensamma x 3 -axeln.153. 153 Tensorn A ↔ har följande komponenter relativt det kartesiska koordinatsystemetK:⎧⎨ 1 i + j = 4A ij =⎩ 0 i + j ≠ 4Bestäm A ′ ij i ett koordinatsystem K′ som är vridet vinkeln α relativt K kringden med K gemensamma x 1 -axeln.154. 154 En andragradsyta har ekvationenA ij x i x j + B i x i = 0i det kartesiska systemet K. I ett annat kartesiskt system K ′ blir ekvationenA ′ ij x′ i x′ j + B′ i x′ i = 0.Visa att A ij (som förutsätts symmetrisk) och B i utgör komponenter av tensorer.155. 155 Beräknaa) δ ii .b) δ ij ε ijk .c) ε ijk ε ljk .d) ε ijk ε ijk .156. 156 Visa att tensorer med följande komponenter är isotropa.a) A ijkl = δ ij δ klb) B ijkl = δ ik δ jl + δ il δ jkc) C ijkl = ε nij ε nkl157. 157 A ij och B ij är kartesiska komponenter av tensorfält. Visa att följande storheterär kartesiska komponenter av tensorfält och ange deras ordning.a) A ij B klb) A ij B jic) ∂A ij∂x k
36d)e)∂ 2 A ij∂x i ∂x k∫∫∫A ij A jk dx 1 dx 2 dx 3V158. 158 Använd tensormetoder för att omforma följande uttryck. Resultaten skallöversättas till gängse vektorbeteckningar.a) div rotAb) (A × B) · rotCc) rotrotAd) rot(A × B)e) div(r × gradφ)f) rot(r × gradφ)g) rot(r × rotA)h) div(gradφ × gradψ)i) ∇ × ((r · ∇)B)j) ∇ · ((r × ∇) × B)k) (A · ∇)(B × C)159. 159 Visa att((r × ∇) × (r × ∇))φ = −(r × ∇)φ.160. 160 Använd tensormetoder för att omvandla följande linjeintegraler till ytintegraler:∮a) A × drC∮b) AB · drC∮c) ε ijk A ij ds k där A ij är ett kartesiskt tensorfält.C161. 161 Låt A vara ett virvelfritt vektorfält. Omforma∫∫A × ∇φ · dStill en linjeintegral.S
- Page 1 and 2: Exempelsamling VektoranalysTeoretis
- Page 5 and 6: • risk of refusal to grant a righ
- Page 7 and 8: 629. 29 Beräkna linjeintegralen av
- Page 9 and 10: 8Beräkning av divergens och rotati
- Page 11 and 12: 1050. 50 Använd Gauss’ sats för
- Page 13 and 14: 1260. 60 Beräkna integralen ∮dä
- Page 15 and 16: 1466. 66 Låt φ vara ett skalärf
- Page 17 and 18: 1678. 78 Beräkna integralendär S
- Page 19 and 20: 18längs S:s slutna randkurva C. ˆ
- Page 21 and 22: 2093. 93 Vektorfältetsatisfierar e
- Page 23 and 24: 22102. 102 Temperaturfördelningen
- Page 25 and 26: 24110. 110 Låt a vara en konstant
- Page 27 and 28: 26Vilket svar hade man fått om fä
- Page 29 and 30: 28Kontinuitetsekvationen, Greens sa
- Page 31 and 32: 30Den specifika värmeledningsförm
- Page 33 and 34: 32d) Ställ upp gradienten i parabo
- Page 35: 34a) Transformera Laplaces ekvation
- Page 39 and 40: 38167. 167 En tensor har i det kart
- Page 41 and 42: 40b) och sedan på ett stationärt
- Page 43 and 44: 42a) rotA.b) (B · ∇)A.c) (A ·
- Page 45 and 46: 44189. 189 Använd Stokes’ sats f
- Page 47 and 48: 46198. 198 Vektorfältet A har kont
- Page 49 and 50: 48Svar och lösningsanvisningar1. 1
- Page 51 and 52: 5020. 20 Betrakta nivåytan φ = x
- Page 53 and 54: 52e) 12π/534. 34 4πR 335. 35 3233
- Page 55 and 56: 5450. 50 Låt S ∗ vara en cirkel
- Page 57 and 58: 5661. 61 Eftersom rotA = (1, 1, 1),
- Page 59 and 60: 58h) alt. II:tyochh) alt. III:rot((
- Page 61 and 62: 6072. 7212 ○ ∫∫SdS × (a × r
- Page 63 and 64: 6283. 83a) På C ärr = a(cosϕ, si
- Page 65 and 66: 6487. 87 Linjeintegralens i:e kompo
- Page 67 and 68: 66(4, 5) → (3) ger slutligen:dvs.
- Page 69 and 70: 68b)c)∇ × A ==1r 2 sinθ1r 2 sin
- Page 71 and 72: 70a) rotF = 0b)divF = cos3θr 4 sin
- Page 73 and 74: 72111. 111 − 4 cosθr 4 e r112. 1
- Page 75 and 76: 74a)b)∫∫1○S r e r · ˆn dS =
- Page 77 and 78: 76125. 125 Differentialekvationerna
- Page 79 and 80: 78Då ε → 0 blir4πhφ(0, −) =
- Page 81 and 82: 80139. 139 Integralen ==∮C 1∮
- Page 83 and 84: 82d)e)f)gradφ =(1 ∂φ√u2 + v 2
- Page 85 and 86: a) Ur ⎧⎪ ⎨⎪ ⎩ξ 2 = ρ
35152. 152 En tensor har komponenterna A 11 = 1, A ik = 0 om i ≠ 1 eller k ≠ 1,relativt det kartesiska koordinatsystemet K. Ange tensorns komponenter relativtkoordinatsystemet K ′ , som är vridet vinkeln α relativt K kring den med Kgemensamma x 3 -axeln.153. 153 Tensorn A ↔ har följande komponenter relativt det kartesiska koordinatsystemetK:⎧⎨ 1 i + j = 4A ij =⎩ 0 i + j ≠ 4Bestäm A ′ ij i ett koordinatsystem K′ som är vridet vinkeln α relativt K kringden med K gemensamma x 1 -axeln.154. 154 En andragradsyta har ekvationenA ij x i x j + B i x i = 0i det kartesiska systemet K. I ett annat kartesiskt system K ′ blir ekvationenA ′ ij x′ i x′ j + B′ i x′ i = 0.Visa att A ij (som förutsätts symmetrisk) och B i utgör komponenter av tensorer.155. 155 Beräknaa) δ ii .b) δ ij ε ijk .c) ε ijk ε ljk .d) ε ijk ε ijk .156. 156 Visa att tensorer med följande komponenter är isotropa.a) A ijkl = δ ij δ klb) B ijkl = δ ik δ jl + δ il δ jkc) C ijkl = ε nij ε nkl157. 157 A ij och B ij är kartesiska komponenter av tensorfält. Visa att följande storheterär kartesiska komponenter av tensorfält och ange deras ordning.a) A ij B klb) A ij B jic) ∂A ij∂x k
Change language