Exempelsamling Vektoranalys
Exempelsamling Vektoranalys Exempelsamling Vektoranalys
33146. 146 De kroklinjiga koordinaterna u, v och w är definierade genom⎧x = a coshu cosv⎪⎨y = a sinhusinv .⎪⎩ z = wBestäm basvektorer och skalfaktorer samt sök den lösning till ekvationen∇ 2 φ = 0som enbart beror av u, och på ellipsernax 225 + y29 = a2och16x 225 + y216 = a29antar värdena 0 och 2 respektive. (u > 0, 0 ≤ v < 2π.)147. 147 Ett kroklinjigt koordinatsystem (ξ, η, ζ) är givet genom⎧ξ ⎪⎨2 = ρ − y − ∞ < ξ < ∞η 2 = ρ + y 0 ≤ η < ∞ .⎪⎩ ζ = zHär är ρ = √ x 2 + y 2 och tecknet på ξ definieras genom x = ξη.a) Bestäm de normerade basvektorerna e ξ , e η och e ζ samt transformationskoefficienternaa ik = e i ′ · e k i ′ = ξ, η, ζ.Är (ξ, η, ζ) ett ortogonalt system?b) Bestäm skalfaktorerna och divA, därA =(1 ξ√ξ2 + η 2 2 (3η2 + ξ 2 )e ξ + η )2 (3ξ2 + η 2 )e η .148. 148 Betrakta de ortogonala kroklinjiga koordinaterna⎧u = r(1 − cosθ)⎪⎨v = r(1 + cosθ) .⎪⎩ w = ϕHur ser gradienten av ett fält φ och ortsvektorn r ut i det nya basvektorsystemete u , e v , e w ?149. 149
34a) Transformera Laplaces ekvation till paraboliska koordinater u, v, ϕ.b) Bestäm den allmänna lösningen på formen φ = φ(u).c) Referera denna lösning till sfäriska koordinater samt verifiera att den satisfierarLaplaces ekvation i sfäriska koordinater.150. 150 Ett skalärfält φ, som enbart beror avu 2 = r + z = √ x 2 + y 2 + z 2 + zsatisfierar Laplaces ekvation ∇ 2 φ = 0 jämte randvillkoren⎧x = 3a ⎪⎨φ = 0 för y = 0 och φ = φ 0 för⎪⎩ z = 4a⎧⎪⎨⎪⎩x = 0y = 0z = aFör att bestämma φ används lämpligen koordinaterna u, v, ϕ definierade ur⎧⎧x = uv cosϕ 0 ≤ u < ∞⎪⎨⎪⎨y = uv sinϕ 0 ≤ v < ∞ .⎪⎩ z = 1 2 (u2 − v 2 )⎪⎩ 0 ≤ ϕ < 2πVisa att dessa är ortogonala, bestäm skalfaktorerna och uppställ sedan ekvationenför φ samt bestäm φ.Tensorräkning151. 151a) Visa att transformationen x ′ i = L ikx k med⎛− √ 1 02 1(L ik ) =2⎜⎝ 12är en rotation.1√2− 1 √2121√212b) Bestäm komponenterna Tik ′ om⎛ ⎞0 1 0(T ik ) = ⎜ 1 0 1 ⎟⎝ ⎠ .0 1 0⎞⎟⎠
- Page 1 and 2: Exempelsamling VektoranalysTeoretis
- Page 5 and 6: • risk of refusal to grant a righ
- Page 7 and 8: 629. 29 Beräkna linjeintegralen av
- Page 9 and 10: 8Beräkning av divergens och rotati
- Page 11 and 12: 1050. 50 Använd Gauss’ sats för
- Page 13 and 14: 1260. 60 Beräkna integralen ∮dä
- Page 15 and 16: 1466. 66 Låt φ vara ett skalärf
- Page 17 and 18: 1678. 78 Beräkna integralendär S
- Page 19 and 20: 18längs S:s slutna randkurva C. ˆ
- Page 21 and 22: 2093. 93 Vektorfältetsatisfierar e
- Page 23 and 24: 22102. 102 Temperaturfördelningen
- Page 25 and 26: 24110. 110 Låt a vara en konstant
- Page 27 and 28: 26Vilket svar hade man fått om fä
- Page 29 and 30: 28Kontinuitetsekvationen, Greens sa
- Page 31 and 32: 30Den specifika värmeledningsförm
- Page 33: 32d) Ställ upp gradienten i parabo
- Page 37 and 38: 36d)e)∂ 2 A ij∂x i ∂x k∫∫
- Page 39 and 40: 38167. 167 En tensor har i det kart
- Page 41 and 42: 40b) och sedan på ett stationärt
- Page 43 and 44: 42a) rotA.b) (B · ∇)A.c) (A ·
- Page 45 and 46: 44189. 189 Använd Stokes’ sats f
- Page 47 and 48: 46198. 198 Vektorfältet A har kont
- Page 49 and 50: 48Svar och lösningsanvisningar1. 1
- Page 51 and 52: 5020. 20 Betrakta nivåytan φ = x
- Page 53 and 54: 52e) 12π/534. 34 4πR 335. 35 3233
- Page 55 and 56: 5450. 50 Låt S ∗ vara en cirkel
- Page 57 and 58: 5661. 61 Eftersom rotA = (1, 1, 1),
- Page 59 and 60: 58h) alt. II:tyochh) alt. III:rot((
- Page 61 and 62: 6072. 7212 ○ ∫∫SdS × (a × r
- Page 63 and 64: 6283. 83a) På C ärr = a(cosϕ, si
- Page 65 and 66: 6487. 87 Linjeintegralens i:e kompo
- Page 67 and 68: 66(4, 5) → (3) ger slutligen:dvs.
- Page 69 and 70: 68b)c)∇ × A ==1r 2 sinθ1r 2 sin
- Page 71 and 72: 70a) rotF = 0b)divF = cos3θr 4 sin
- Page 73 and 74: 72111. 111 − 4 cosθr 4 e r112. 1
- Page 75 and 76: 74a)b)∫∫1○S r e r · ˆn dS =
- Page 77 and 78: 76125. 125 Differentialekvationerna
- Page 79 and 80: 78Då ε → 0 blir4πhφ(0, −) =
- Page 81 and 82: 80139. 139 Integralen ==∮C 1∮
- Page 83 and 84: 82d)e)f)gradφ =(1 ∂φ√u2 + v 2
34a) Transformera Laplaces ekvation till paraboliska koordinater u, v, ϕ.b) Bestäm den allmänna lösningen på formen φ = φ(u).c) Referera denna lösning till sfäriska koordinater samt verifiera att den satisfierarLaplaces ekvation i sfäriska koordinater.150. 150 Ett skalärfält φ, som enbart beror avu 2 = r + z = √ x 2 + y 2 + z 2 + zsatisfierar Laplaces ekvation ∇ 2 φ = 0 jämte randvillkoren⎧x = 3a ⎪⎨φ = 0 för y = 0 och φ = φ 0 för⎪⎩ z = 4a⎧⎪⎨⎪⎩x = 0y = 0z = aFör att bestämma φ används lämpligen koordinaterna u, v, ϕ definierade ur⎧⎧x = uv cosϕ 0 ≤ u < ∞⎪⎨⎪⎨y = uv sinϕ 0 ≤ v < ∞ .⎪⎩ z = 1 2 (u2 − v 2 )⎪⎩ 0 ≤ ϕ < 2πVisa att dessa är ortogonala, bestäm skalfaktorerna och uppställ sedan ekvationenför φ samt bestäm φ.Tensorräkning151. 151a) Visa att transformationen x ′ i = L ikx k med⎛− √ 1 02 1(L ik ) =2⎜⎝ 12är en rotation.1√2− 1 √2121√212b) Bestäm komponenterna Tik ′ om⎛ ⎞0 1 0(T ik ) = ⎜ 1 0 1 ⎟⎝ ⎠ .0 1 0⎞⎟⎠
Change language